“warum mit einer 2 rechnen, wenn eine 0 oder 1 reicht?!“

   Und wie wir gleich sehen werden, ist das Rechnen mit einer 0 sogar noch einfacher als das mit einer 1, woraus folgt:

2. : das Rechnen mit :

	3 + 1 = 4	17 ,4183 + 1 = 18 ,4183
	3 - 1 = 2	17 ,4183 - 1 = 16 ,4183
	3 • 1 = 3	17,4183 • 1 = 17,4183	allgemein: x • 1 = x	besonders einfach
	3 : 1 = 3	17,4183 : 1 = 17,4183	allgemein: x : 1 = x	besonders einfach

3. : das Rechnen mit :

	3 + 0 = 3	17,4183 + 0 = 17,4183	allgemein: x + 0 = x	besonders einfach
	3 - 0 = 3	17,4183 - 0 = 17,4183	allgemein: x - 0 = x	besonders einfach
	3 • 0 = 0	17,4183 • 0 = 0	allgemein: x • 0 = 0	besonders einfach
	3 : 0 =	17,4183 : 0 =		besonders schwierig: das Teilen durch 0 ist grundsätzlich verboten; aber dieser Fall kommt im Folgenden nie vor (sondern nur beim Tangens, Cotangens und gebrochen rationalen Funktionen)

---

Die ist naheliegend, die hingegen nicht - und deshalb genial.

• Zur :

in der Corona-Krise 2020 war in Geschäften abhängig von deren Größe immer nur eine bestimmte Anzahl Kunden erlaubt und musste also am Eingang irgendwie erfasst werden, wie viele Kunden bereits im jeweiligen Geschäft waren.

Es gab dazu verschiedene Methoden

(u.a., dass nur so viele Einkaufswagen vorhanden waren, wie Kunden sich im Geschäft aufhalten durften, und kein Kunde ohne Einkaufswagen hereingelassen wurde - was nebenbei auch das Subtrahieren der Kunden überflüssig machte, die das Geschäft bereits wieder verlassen hatten).

Wir wählen hier aber die (scheinbar) einfachste Erfassungsmethode, nämlich das Abzählen der Kunden:

• aus                                
  
  
• wird in Strichlistenform   bzw. ,
  
  
• dann z.B.                       
  
  
• und zuguterletzt              ,

d.h. für jeden realen einzelnen Menschen eine

(vgl. eine Frau, ein Mann, ein Kind).

Ganz anders ist das aber bei der

• :

Wieso sollte man

• für nichts ein Etwas (ein Symbol)
• bzw. aus einem Nichts ein Etwas machen?!

Um so genialer war es, das trotzdem zu tun

(und sich damit all die oben gezeigten Vorteile der 0 einzuhandeln).

Die Schreibweise ist äußerst passend: ein Loch ist nichts mit etwas drumherum: 

Ich glaube tatsächlich, dass die Erfindung der eine der war

(was aber im üblichen Schulunterricht nie vorkommt).

Kein Wunder also, dass es

• über die nur ein einz(!)iges Buch gibt:

(... wenn man mal von Büchern zum „Einmaleins“, also    ..., absieht),

• über die aber mindestens zehn Bücher:

Mathematiker sind innig verliebt in Funktionen, die in zwei Formen vorkommen können:

1. als Funktionsgleichungen (Algebra), also z.B. f: y = x²;

Funktionsgleichungen

• haben den Nachteil, dass sie sehr abstrakt sind, man also oftmals keine anschauliche Vorstellung von den Funktionen bekommt,
• den Vorteil, dass man mit ihnen rechnen und absolut genaue Ergebnisse erreichen kann;

2. als Funktionsgraphen (Geometrie), also z.B. ;

Funktionsgraphen haben

• den Nachteil, dass man Punkte nur ungenau einzeichnen und ablesen kann,
• den Vorteil, dass man anschauliche Vorstellungen von den Funktionen bekommen kann.

Wichtig dabei ist: z.B. die Funktionsgleichung f: y = x²  und der Funktionsgraph

• sehen zwar völlig unterschiedlich aus,
• stellen aber dieselbe Funktion dar

(es ist ja sowieso eine Hauptbeschäftigung der Mathematiker zu zeigen, dass

• zwei sehr ähnliche Dinge dennoch unterschiedlich
• und zwei sehr unterschiedlich aussehende Dinge dennoch identisch sein können).

Da beide Darstellungsweisen ihre jeweiligen (nur umgekehrten) Vor- und Nachteile haben, ist es ein zentrales Anliegen der Mathematiker bei Funktionen, die beiden Schreibweise hin und her zu übersetzen. Vgl. oder   .

Und jetzt tatsächlich endlich nähern (!) wir uns unserem eigentlichen Thema:

So sein mag, so macht es vielen Schülern doch immer wieder Schwierigkeiten, und zwar gerade in den (scheinbar) einfachsten Fällen.

Schauen wir uns an, wie es vermutlich zu diesen Schwierigkeiten kommt bzw. worin diese Schwierigkeiten bestehen.

Um zu einer vorgegebenen Funktionsgleichung den zugehörigen Funktionsgraphen zu finden

(ihn sich aber nicht gleich komplett vom Computer anzeigen zu lassen),

ist es ratsam,

• die Koordinaten einiger Punkte zu berechnen,
• diese in ein Koordinatensystem einzuzeichnen
• u nd dann durch die „Trägerpunkte“ einen Funktionsgraphen durchzuzwängen

(wobei es hilfreich ist, schon vorweg zu wissen, wie die Funktionsgraphen bestimmter Funktionenklassen [z.B. quadratischer Funktionen] ungefähr aussehen [z.B. parabelförmig]).

Nun besteht ein (stetiger) Funktionsgraph allerdings aus unendlich vielen Punkten, womit sich die Frage stellt, ob es

• egal ist, welche Punkte man wählt

(und wie viele),

• oder ob es unter den unendlich vielen Punkten

(am besten möglichst wenige)

besonders geeignete Punkte gibt

(und was „besonders geeignet“ eigentlich bedeutet: zu was [besonders] geeignet?).

Oder vom Ende aus gefragt: in der Schule werden bis zum „Nullstellen“ berechnet. Aber warum eigentlich bzw. warum gerade diese?

(... eine Frage, die im üblichen Mathematikunterricht nie gestellt wird. Da fällt alles fertig vom Himmel und wird nicht hinterfragt.)

Ein Beispiel für geeignete Punkte:

gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung y = 0,5x² - 3x + 4

Da ist es hilfreich, vorweg (also ohne jede Rechnung) zu wissen:

• da eine quadratische Funktion vorliegt, ist der Funktionsgraph parabelförmig,
• w egen des 0,5 vor dem x² ist die Parabel gestaucht,
• wegen des Minus vor 3x ist die Parabel aus dem Ursprung nach rechts verschoben

(wobei wir allerdings noch nicht an der Funktionsgleichung ablesen können, wie weit die Parabel nach rechts verschoben wird).

Mit all dem kennen wir vorweg

• zwar die Form des Funktionsgraphen .
• aber

(abgesehen von seiner Rechtsverschiebung)

noch nicht seine genaue Lage:

Alles wird aber ganz einfach, wenn wir den Scheitel-/Tiefpunkt S kennen, der also ein "besonders geeigneter" Punkt ist.

Diesen Scheitel- bzw. Tiefpunkt S kann man auf zwei Arten ermitteln:

1. indem man die Funktionsgleichung y = 0,5x² - 3x + 4 in die "Scheitelpunktsform" y = 0,5 • (X - 3)² - 0,5 überführt und daraus S ( 3 | - 0,5 ) abliest,
2. indem man mit Ableitungen den Tiefpunkt ermittelt und natürlich ebenfalls S ( 3 | - 0,5 ) erhält.

Wenn man erstmal S ( 3 | - 0,5 ) kennt, ist das Zeichnen des Funktionsgraphen

(sowohl seiner Form als auch seiner Lage)

ganz einfach:

(Nebenbei:

• im vorliegenden Fall erhalten wir ganz nebenbei auch schon die Nullstellen der Funktion, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, nämlich A ( 2 | 0 ) und B ( 4 | 0 ),
• und den Schnittpunkt S_y ( 0 | 4 ) mit der y-Achse können wir sowieso schon ohne jede Rechnung an der Funktionsgleichung y = 0,5x² - 3x + 4 ablesen:

Auf den irritierenden Umstand, dass

werden wir unten noch ausführlich zu sprechen kommen, ja, diese Irritation ist sogar das eigentliche Thema dieses Textes.)

Nun ist die Berechnung des Scheitel- bzw. Tiefpunkts S ( 3 | - 0,5 ) aber sehr umständlich - und hat noch andere Nachteile:

• Scheitelpunkte gibt es nur bei quadratischen Funktionen,
• Scheitel-, Tief- und Hochpunkte können

(wenn eine Funktion sie überhaupt hat)

überall im Koordinatensystem liegen, d.h. für ihre x- und y-Koordinaten gibt es keinerlei Systematik.

Nun lieben die Mathematiker aber systematische Vorgehensweisen, was im vorliegenden Fall bedeutet: Mathematiker wollen

• an Funktionen immer dieselben Fragen stellen

(und Funktionen damit vergleichbar machen)

• und immer nach derselben Sorte „besonders geeigneter“ Punkte suchen.
  

(Kleiner Nachteil dieser Punkte: es gibt Funktionen,

• die die x-Achse bzw. die y-Achse gar nicht schneiden,
• bei denen also die Rechnung mit 0 zu keinem Ergebnis führt.)

Damit scheinen

• Schnittpunkte mit der x-Achse (auch Nullstellen genannt)
• und Schnittpunkte mit der y-Achse

gleichwertig zu sein - und ist erstmal unklar, weshalb im Mathematikunterricht

• Schnittpunkte mit der y-Achse meist nur stiefmütterlich nebenher behandelt werden,
• Schnittpunkte mit der x-Achse hingegen ewig lange und immer wieder bis zum .

Dafür gibt es zwei Gründe:

• erster Grund:

da Funktionen jedem x-Wert (hier x = 0) genau einen y-Wert zuordnen, können sie höchstens einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben, aber durchaus mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse (also mehrere Nullstellen):

;

• zweiter Grund:
• das Berechnen eines Schnittpunkts mit der y-Achse ist in der Regel ganz einfach:

          nehmen wir z.B. nochmals die Funktion f mit der Funktionsgleichung y = 0,5x² - 3x + 4.

Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0 , also S_y ( 0 | ? ). Wenn wir nun für die x in der Funktionsgleichung jeweils 0 einsetzen, folgt:

y = 0,5 • 0 ² - 3 • 0 + 4 =

  = 0,5 • 0    - 3 • 0 + 4 =

  =          0    -       0 + 4 = 4

oder kurz y = 4 und somit S_y ( 0 | 4 ).

Wir hätten also überhaupt nicht rechnen müssen, sondern die 4 ganz hinten in y = 0,5x² - 3x + 4 ablesen können.

• das Berechnen der (falls vorhanden) Schnittpunkte mit der x-Achse (also der Nullstellen) ist nicht mehr ganz so einfach:

hier ist y = 0 und somit N ( ? | 0), womit sich z.B. im Fall y = 0,5x² - 3x + 4 ergibt:

0 = 0,5x² - 3x + 4 ,

und das ist (nach Normierung) nur mittels quadratischer Ergänzung bzw. der Formel , also mit erheblicher Rechnerei lösbar

(und ergibt die Nullstellen A = N₁ ( 2 | 0 ) und B = N₂ ( 4 | 0 ) ).

Die Rechnungen sind aber so schwierig, weil in 0 = 0,5x² - 3x + 4 das x sowohl quadratisch als auch einfach vorkommt.

Aber in diesem Text geht es mir gar nicht um Rechnungen, sondern um ein tieferes Verständnis von Schnittpunkten von Funktionsgraphen mit der x- und der y-Achse.

Rein innermathematisch haben die Punkte N₁, N₂ und S_y auf der x- bzw. y-Achse etwa in

keine andere Bedeutung als eben die, dass sie auf der x- bzw. y-Achse liegen

(und deshalb eine ihrer beiden Koordinaten 0 ist, weshalb sich relativ einfach mit ihnen rechnen lässt).

Genauso gut könnte man auch jene Punkte betrachten, die auf dem Rand eines Smileys liegen

(wobei die Rechnungen allerdings ein bisschen schwieriger ausfallen würden).

Dabei wäre es - rein innermathematisch gesehen - völlig uninteressant, dass der Smiley lächelt: zur Berechnung der orangen Punkte würde allein der Außenkreis des Smileys interessieren:

Die Mathematik kann einem also jeden Spaß verderben:

Dass die Punkte N₁, N₂ und S_y in

auf der x- bzw. y-Achse liegen, ist etwa so (un-)interessant wie .

Eine Bedeutung

1. in dem Sinne, dass etwas Anderes gemeint ist,

2. in dem Sinne, dass etwas wichtig ist,

gewinnen die Schnittpunkte mit der x- bzw. y-Achse aber überhaupt erst, wenn die Mathematik auf außermathematische Sachverhalte angewandt wird, also z.B.

Die Grafik soll das Kapital einer frisch gegründeten Firma (neudeutsch: eines start-ups) im Laufe der Jahre darstellen:

• S_y zeigt das Anfangskapital von ca. 2,6 Millionen € an

(das der Firmengründer von Mama und Papa geschenkt bekommen hat).

• Anfangs steigt das Kapital noch, macht die Firma also (zusätzliche) Gewinne,

• Nach ca. einem Jahr ist aber erste (lokale) Maximum erreicht, nach dem das Kapital abnimmt,

• und in N₁ , also nach ca. 2,8 Jahren, ist es völlig aufgezehrt, der Betrieb also pleite

(Tränen über Tränen: der Filius hat "mal eben" schlappe 2,6 Millionen € verbrannt).

• Weil Mama und Papa gegenüber ihrem verwöhnten Sohnemann inzwischen vorsichtiger geworden sind und ihm nur noch einen (wenn auch zinslosen) Kredit geben, berappelt der Betrieb sich aber langsam wieder

• und kommt er in N₂  dann doch wieder in die Gewinnzone

(oh welche Erleichterung!).

• Danach aber schießt der Gewinn regelrecht durch die Decke.
  

 Schüler haben selten Schwierigkeiten damit,

• die Koordinaten eines im Koordinatensystems vorgegebenen Punkts abzulesen, also z.B.

• oder umgekehrt mit den vorgegebenen Koordinaten einen Punkt ins Koordinatensystem einzuzeichnen, also z.B.

      .

Aber das fällt vielen Schülern nur so lange leicht, wie die Punkte NICHT auf den Koordinatenachsen liegen.

Wenn man sie aber bittet, zu einer vorgegebenen Funktion den Schnittpunkt S_y mit der y-Achse und die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen, stehen sie oft auf dem Schlauch:

• entweder wissen sie überhaupt keinen Ansatz (dass eine der beiden Punktkoordinaten 0 ist),

• oder sie wissen nicht, welche der beiden Punktkoordinaten 0 ist,

• oder sie setzen die falsche Punktkoordinate gleich 0 .

Damit sind wir endlich beim eigentlichen, oben bereits kurz angedeuteten Thema dieses Aufsatzes, nämlich beim

"[...] irritierenden Umstand, dass

• bei den Schnittpunkten (Nullstellen) mit der x-Achse die y-Koordinaten 0 sind,
• beim Schnittpunkt S_y mit der y-Achse hingegen die x-Koordinate 0 ist [...]".

Fragt sich nur, warum viele Schüler so (scheinbar) blöd sind:

Dafür scheint es mir mehrere Gründe zu geben:

1. und vermutlich am wichtigsten: das Koordinatensystem ist nicht gründlich genug durchgenommen worden.

• wenn eine neue Funktionsart (z.B. quadratische Funktionen) durchgenommen wurde, hat man
  • mal kurz eine Wertetabelle für einige wenige Punkte angelegt,
  • die entsprechenden Punkte ins Koordinatensystem eingetragen,
  • einen (!) Funktionsgraphen durch die Punkte zurechtgebogen
  • und ab dann immer nur die fertigen Funktionsgraphen (Parabeln) benutzt.
• Schüler haben die Punkte im Koordinatensystem nie in Bewegung erlebt

(hier leider nur einige Zwischenzustände statt kontinuierlicher Bewegungen):

.        

• Und überhaupt ist es geradezu tragisch, dass
  • sehr oft ganze Funktionsgraphen durchgenommen werden,
  • allzu selten aber solche „in statu nascendi“ = im kontinuierlichen Entstehen von links nach rechts:

2. wird all das irgendwann mal frisch erworbene Wissen später immer vorausgesetzt statt immer wieder aufs Neue durchgenommen.

3. beherrschen die Schüler den exemplarischen Fall , weil sie da die x- und y-Koordinate TUN, also

• erst , also entlang der x-Achse,
• dann , also parallel zur y-Achse.

Hingegen gibt es

• bei nur eine (!) Bewegung auf der x-Achse (aber keine auf der y-Achse),
• bei  nur eine (!) Bewegung auf der y-Achse (aber keine auf der x-Achse),
  

d.h. die jeweils andere 0-Koordinate entsteht (?) durch ein Nichts-TUN.

("null" und "nichts" sind für Schüler bekanntermaßen schwer miteinander vereinbare oder schwer zu unterscheidende Begriffe: "bei der Gleichungslösung kommt nix raus" kann dann fallweise bedeuten

• "da kommt 0 raus, d.h. es gibt sehr wohl eine Lösung, nämlich 0",
• "die Gleichung ist nicht lösbar, d.h. es gibt gar keine Lösung [auch nicht die 0 ]".)

Entsprechend ist

• in die y-Koordinate UNSICHTBAR,

• in die x-Koordinate UNSICHTBAR.

Was aber weder GETAN wird noch SICHTBAR ist, bleibt abstrakt:

Ein anderer Zugang:

1. das zweidimensionale (kartesische) Koordinatensystem :

• Das zweidimensionale Koordinatensystem wird durch zwei Achsen aufgespannt, nämlich die x- und die y-Achse.
• Die beiden Koordinatenachsen stehen senkrecht aufeinander!
• Sämtliche Funktionen, die üblicherweise in der Schule durchgenommen werden, sind zweidimensionale Funktionen

(jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet),

also reicht für die Graphen dieser Funktionen das zweidimensionale Koordinatensystem.

1. Punkte auf der x-Achse:

Da P auf der x-Achse liegt, brauchen wir die y-Achse eigentlich gar nicht:

Rückübersetzt ins zweidimensionale Koordinatensystem:

2. Punkte auf der y-Achse:

Da P auf der y-Achse liegt, brauchen wir die x-Achse eigentlich gar nicht:

Rückübersetzt ins zweidimensionale Koordinatensystem:

Wir hatten oben gesehen, dass das Rechnen mit 0 besonders einfach ist

(wenn man mal von der verbotenen Division durch 0 absieht):

• 3 + 0 = 3        4 + 0 = 4

• 3 - 0 = 3         4 - 0 = 4

• 3 • 0 = 0        4 • 0 = 0
  

Die Multiplikation mit 0 ist also besonders einfach, da bei ihr das Ergebnis immer 0 ist, egal, welche Zahl mit 0 multipliziert wurde.
Man könnte auch sagen: die 0 ist der große Gleichmacher (die ausgleichende Gerechtigkeit), wenn mit ihr multipliziert wird:

(Vgl. und )

• wenn die y-Koordinate 0 ist, wird die gesamte Ebene zur x-Achse zusammengepresst:

 

• wenn die x-Koordinate 0 ist, wird die gesamte Ebene zur y-Achse zusammengepresst:

2. das dreidimensionale (kartesische) Koordinatensystem :

Um ein dreidimensionales Koordinatensystem zu erhalten,

• setzen wir das Konstruktionsprinzip des zweidimensionalen Koordinatensystems fort, soll also die neue z-Achse
  • sowohl senkrecht auf der x-Achse
  • als auch senkrecht auf der y-Achse stehen.

Wenn wir uns das zweidimensionale Koordinatensystem so vorstellen, dass es wie in einem Schulheft auf einem Schreibtisch liegt, so kann das nur bedeuten, dass die z-Achse

• nach oben aus dem Tisch herausragt
• oder sich nach unten in diesen hineinbohrt.

Wir wählen , weil es einfacher ist, mit positiven Zahlen zu rechnen und wir diese gerne oberhalb der Tischplatte haben.

Nun ergibt sich allerdings ein Problem, wenn wir von oben auf den Schreibtisch herabsehen: die neue z-Achse kommt direkt auf unser Auge zu, d.h. für uns sieht die Achse aus wie ein Punkt im zweidimensionalen Koordinatensystem

(vgl. einen Pfeil , der direkt auf uns zukommt ):

Erst wenn wir dieses Koordinatensystem

• nicht mehr von oben,
• sondern schräg von der Seite ansehen, werden alle Achsen (also jetzt inkl. der z-Achse) sichtbar:

Aber nochmal kurz zur Sicht von oben: unsere Konstruktion des dreidimensionalen Koordinatensystems hat den Vorteil, dass

• von oben das altbekannte zweidimensionale (von der x- und der y-Achse aufgespannte) Koordinatensystem sichtbar bleibt
• und somit das zweidimensionale Koordinatensystem nur ein Spezialfall des dreidimensionalen Koordinatensystems ist.

Um sich die Richtungen der Achsen zu merken, gibt es eine schöne "Faustregel", nämlich die "Rechte[!]-Hand-Regel":

(Vgl. die "Rechte-Hand-Regel" in der Physik: )

Wem die Computeranimation zu abstrakt ist

(denn sie ist ja doch wieder nur die zweidimensionale Projektion von etwas Dreidimensionalem),

der baue sich mal schnell dreidimensionale Modelle

(die ich hier aber auch wieder nur mit zweidimensionalen Fotos vorführen kann):

1.   ↔  ,
   
2. ,
3. ist oftmals schon der simple Tafelschwamm hilfreich,
4. : kann / darf ein Lehrer einem eigentlich verbieten, in einer Klassenarbeit eine (präparierte) Butterbrotdose mitzubringen?:
5. ist das ideale dreidimensionale Koordinatensystem im Klassenraum der Klassenraum selbst:

(Vgl. auch ; Foto während einer Klassenarbeit entstanden: die Ebenen und Geraden hatte ich selbst vorher gespannt.)

Echte dreidimensionale Modelle haben allerdings einen entscheidenden Nachteil: es ist schwierig, in diesen Modellen Punkte zu markieren, wenn diese nicht in der xy- oder xz- oder yz-Ebene (s.u.), sondern "in der Luft hängen".

(Ich werde demnächst aber mal versuchen, ein dreidimensionales Modell zu entwickeln, in dem das möglich ist.)

Deshalb arbeitet man dann eben doch meistens mit zweidimensionalen Zeichnungen (Projektionen) dreidimensionaler Koordinatensysteme, also z.B.

  .

Da kann man zwar relativ einfach vorgegebene Punkte eintragen, nämlich z.B. P ( 2 | 3 | 4 ) :

Man kann aber nicht (eindeutig) von einem im Koordinatensystem vorgegebenen Punkt dessen Koordinaten ablesen. Ein Beispiel ist da

• Da wird wohl jeder erstmal denken, dass P auf der z-Achse liegt, womit sich ergibt:

Genauso sind aber auch möglich:

• , d.h. P liegt aus unserem Blickwinkel gesehen hinter der z-Achse;
• , d.h. P liegt aus unserem Blickwinkel gesehen vor der z-Achse.

Mit P können also alle (unendlich viele) Punkte gemeint sein, die auf einer Geraden liegen, die von unserem Auge durch P  geht

(bzw. P ist eine von hinten gesehene Gerade).

Dass drei unterschiedliche Punkte identisch aussehen, zeigt schon: die zweidimensionale Projektion des dreidimensionalen Koordinatensystems ist nicht „längentreu“, denn

• obwohl die drei Punkte unterschiedliche Entfernungen ( > 0 ) voneinander haben,
• sieht es so aus, als wenn sie alle die Entfernung 0 voneinander haben, also identisch sind.

Kurz gesagt: man kann aus der zweidimensionalen Projektion oftmals nicht reale Entfernungen ablesen.

Und genauso ist die zweidimensionale Projektion nicht „winkeltreu“. Z.B.

Kurz gesagt: man kann aus der zweidimensionalen Projektion oftmals nicht reale Winkel im Dreidimensionalen ablesen.

Die zweidimensionale Projektion des dreidimensionalen Koordinatensystems hat also fast nur schwerwiegende Nachteile. Um so dringlicher wäre also eigentlich ein dreidimensionales Modell. Und der Rest ist notgedrungen unanschauliches Rechnen.

Halten wir noch kurz fest:

Analog zum Pressen einer Fläche im Zweidimensionalen können wir uns hier im Dreidimensionalen auch vorstellen, dass der gesamte Raum zu einer Ebene zusammengepresst wird:

• wenn die z-Koordinate 0 ist, wird der gesamte Raum zur xy-Ebene zusammengepresst:

 

• Wenn die x-Koordinate 0 ist, wird der gesamte Raum zur yz-Ebene zusammengepresst:

Ebenfalls noch kurz sei festgehalten, dass oftmals

genannt wird. Grund dafür ist vermutlich, dass damit im vierdimensionalen Koordinatensystem

(das aber sowieso nicht mehr gezeichnet werden kann)

auch eine x₄-Achse möglich wird

(während das Alphabet nach dem Buchstaben z zu Ende ist).

Solche vierdimensionalen Koordinatensysteme braucht man beispielsweise in der Relativitätstheorie, wo auf der x₄-Achse zusätzlich noch die Zeit eines Ereignisses notiert wird.

       (Vgl.: bei einem Fußballspiel ist es nicht nur wichtig, wo der Ball im dreidimensionalen Raum ist, sondern auch, wann er dort ist, nämlich während der Spielzeit.) 

In der Schule spielen solche vierdimensionalen Koordinatensysteme aber keine Rolle, und deshalb scheint mir die Umbenennung der Achsen auch unnötig und für Schüler evtl. verwirrend.

Oftmals werden die Koordinatenachsen dann auch anders angeordnet:

Ich mag diese neuen Richtungen nicht, weil damit die xy- bzw. x₁x₂-Ebene von oben gesehen zur eventuellen Verwirrung der Schüler

• nicht mehr (wie im Zweidimensionalen üblich) so  ,

• sondern so  liegt.

Hauptanwendungsgebiet von Koordinatensystemen sind Funktionen. Nun sind aber sämtliche in der Schule durchgenommenen Funktionen zweidimensional, ist so gesehen also gar kein dreidimensionales Koordinatensystem nötig.

Dennoch mal Beispiele für dreidimensionale Funktionen, bei denen aber

• sondern immer einer Kombination aus x und y ein z

zugeordnet wird, so dass über/unter jedem Punkt der xy-Ebene immer nur ein Punkt des dreidimensionalen Funktionsgraphen liegt:

Da ist ein Funktionsgraph tatsächlich endlich mal schön, und schön ist erst recht die Bewegung, die sich durch eine Funktionenschar

(viele aufeinander folgende Funktionsgraphen)

ergibt:

Das kann man sich auch so vorstellen, dass ein (Seiden-!)Tuch rechts immer schneller hoch und runter bewegt wird und diese Bewegungen sich in Raum und Zeit (!) ausbreiten (im Raum nach links):

Da dreidimensionale Funktionen in der Schule allerdings nie vorkommen, bleibt dort "nur" ein anderes Anwendungsgebiet für das dreidimensionale Koordinatensystem, nämlich die Vektorgeometrie und da z.B.

1. Punkte auf der x-Achse:

Da P auf der x-Achse liegt, brauchen wir die y- und die z-Achse eigentlich gar nicht:

Rückübersetzt ins dreidimensionale Koordinatensystem:

2. Punkte auf der y-Achse:

Da P auf der y-Achse liegt, brauchen wir die x- und die z-Achse eigentlich gar nicht:

Rückübersetzt ins dreidimensionale Koordinatensystem:

3. Punkte auf der z-Achse:

Da P auf der z-Achse liegt, brauchen wir die x- und die y-Achse eigentlich gar nicht:

.                   

Rückübersetzt ins dreidimensionale Koordinatensystem:

4. Punkte in der xy-Ebene:

Da P in der xy-Ebene liegt, brauchen wir die xz- und die yz-Ebene eigentlich gar nicht:

.   

Rückübersetzt ins dreidimensionale Koordinatensystem:

5. Punkte in der xz-Ebene:

           

6. Punkte in der yz-Ebene:

.  .         

 

7. Punkte in der xz-Ebene:

.  .         

Kurz zusammengefasst:

Aber wie soll man sich das alles merken??? - wenn man nicht ein (!) einfaches System dahinter entdeckt:

Es ist (sind) immer die Koordinate(n) 0, die links NICHT genannt wird (werden):

Schüler sollten sich eigentlich immer freuen, wenn der Lehrer so ausnehmend nett ist, in Aufgaben Punkte auf den Achsen bzw. in den von ihnen aufgespannten Ebenen vorzugeben, wird durch die Nullen das Rechnen

(vor allem mit sonst sehr mühsamen Gleichungssystemen)

doch erheblich einfacher.

Zuguterletzt sollte man auch die Umkehrung von

kennen (und üben), also