x = Zeit, y = Zu-/Abfluss
oder
eine ewig gleiche Standardanwendung des Integrals

Jedes Jahr kurz vor dem Abitur gibt es für Lehrer eine "Vergatterungskonferenz", bei der sie

1. über den zeitlichen Verlauf des Abiturs informiert und
   
2. zu absolutem Stillschweigen über das gesamte Abitur, insbesondere aber über Prüfungsinhalte vergattert werden.

Denn schließlich leben wir in Zeiten totaler Objektivität und Vergleichbarkeit - und haben die Schulleitungen eine Heidenangst vor Widerspruchsverfahren. 

Nun bin ich aber fest entschlossen, dennoch die wichtigsten Inhalte des Mathematik-Abiturs zu verraten

,

denn es sind ja eh IMMER DIESELBEN.

Mathematik mag einerseits ein bei vielen Schülern besonders unbeliebtes Fach sein, andererseits ist sie aber

(ganz abgesehen davon, dass sie immer mehr zum "Kernfach" hochstilisiert wird und damit nicht mehr abwählbar ist) 

als Abiturfach erstaunlich beliebt, da sie so schön verlässlich ist. Wenn die Schüler nur wüssten, wie sehr sie verlässlich ist: jüngst hatte ich Anlass, mündliche Mathematik-Prüfungs-"Vorschläge" der letzten 20 Jahre zu sichten

(eigene und von Kollegen [auch anderer Schulen]):

IMMER DASSELBE!

Beim (bis heute) Zentralthema "Analysis, Unterabteilung Integration" kommt garantiert

• eine Flächenberechnung

(gerne verpackt als rein zufällig exakt parabelförmiges Industriegelände;

merke: Integral und Fläche sind nicht dasselbe, und deshalb immer hübsch brav zwischen den Nullstellen integrieren und massenhaft Betragsstriche drum!)

oder

(und das insbesondere im Zeitalter potentiell ökonomischer Anwendbarkeit)

• eine Zu-/Ablussaufgabe

:

• auf der x-Achse ist da IMMER die Zeit abgetragen,
• auf der y-Achse IMMER
  • im positiven Bereich der Zu-,
  • im negativen Bereich der Abfluss.

Beispiele:

• ein Schwimmbad, in das Wasser rein- bzw. rausgepumpt wird,
• ein Fußballstadion (neudeutsch "Arena"), in das Menschen vor dem Spiel hinein- und aus dem sie nach dem Spiel wieder herausdrängen,
• das Laub an den Linden der Promenade in Münster nimmt jahreszeitlich nach einer frei erfundenen Funktion zu und ab.

Die Zu-/Abflussfunktion beschreibt

     (wie der Name schon sagt),

• wieviel (Wasser, Menschen) zu jedem Zeitpunkt ZU- bzw. ABFLIESST (hinein-/herausdrängen), aber
• NICHT, wieviel (Wasser, Menschen) gerade DRIN ist (sind), sondern dieser Inhalt ist mittels Integration überhaupt erst zu berechnen.

Ein Beispiel, nämlich das notorische Schwimmbad, das zu Beginn schon 10 m³ Wasser enthalte:

der Bademeister, der die Pumpe bedient, hat ein ungeheuer feines Händchen, so dass er es tatsächlich schafft, das Wasser exakt nach der Funktion f: y = x³ - 8x² + 15x in das Schwimmbad rein- und wieder aus ihm rauszupumpen

(wieso nach genau dieser Funktion und wieso er erst Wasser rein- und dann einen Teil davon sofort wieder rauspumpt, wissen nur die Götter;

oder er pumpt einfach unheimlich gerne: rein - und raus - und rein - und raus ..., was doch was ungemein Meditatives hat:

;

oder er betreibt mit der Hand ein Wellenbad;

oder er simuliert so gerne Ebbe und Flut :-)

Der Zu- bzw. Abfluss wird durch folgenden Funktionsgraphen dargestellt:

Daran erkennt man:

• während der ersten drei Stunden wird Wasser ins Schwimmbad rein-,
• während der beiden folgenden Stunden wird Wasser wieder aus dem Schwimmbad rausgepumpt;
• während der Reinpumpphase wird nicht immer gleich viel Wasser reingepumpt, sondern das Ventil erst bis zum Maximum M₁ immer weiter auf- und dann langsam wieder zugedreht;
• während der Rauspumpphase wird nicht immer gleich viel Wasser rausgepumpt, sondern das Ventil erst bis zum Minimum M₂ immer weiter auf- und dann langsam wieder zugedreht

(der Bademeister ist also immer gut beschäftigt).

Bemerkenswert ist insbesondere, dass die Nullstellen n₁, n₂ und n₃ der Zu-/Abflussfunktion

• nur bedeuten, dass zu diesen Zeitpunkten überhaupt kein Wasser fließt, also weder welches rein- noch welches rausgepumpt wird,
• aber KEINESWEGS, dass kein Wasser im Schwimmbad ist.

Schauen wir uns das genauer an:

• bei der ersten Nullstelle n₁ im Zeitpunkt 0, also zu Beginn der Zeremonie,
  • sind bereits 10 m³ Wasser im Schwimmbecken, aber
  • es wird noch kein Wasser dazugepumpt;
• bis zur zweiten Nullstelle n₂, also in den ersten 3 Stunden, ist
  • zu den anfänglichen 10 m³
  • die ganze Zeit Wasser dazu gepumpt worden,
  • sind also erheblich mehr als 10 m³ Wasser im Schwimmbad
    
         (wieviel genau, werden wir weiter unten berechnen);
    
• zwischen der zweiten Nullstelle n₂ und der dritten Nullstelle n₃, also von der dritten bis zu fünften Stunde,
  • wird offensichtlich weniger Wasser rausgepumpt,
  • als vorher reingepumpt wurde,
  • also sind zum Zeitpunkt n₃ noch weit mehr als 10 m³ Wasser im Schwimmbecken.

Insgesamt sind also immer größergleich 10 m³ Wasser im Schwimmbecken, ist es also trotz der Null(!)stellen von f nie leer. 

(Von wegen "offensichtlich":

eigentlich ist hier schon klar, worauf alles hinausläuft:

• es wird (anfangs) viel mehr Wasser in unser Schwimmbecken rein- als [nachher] wieder rausgepumpt,

• weil die linke FLÄCHE viel größer ist als die rechte FLÄCHE:

;

und ich stelle mir da natürlich prompt richtige Wasserflächen vor:

[für Klugscheißer: beide Seen sind natürlich gleich tief])

Schauen wir uns nun anhand dreier eng aufeinander folgender Zeitpunkte der Reinpumpphase an, was beim Füllen des Schwimmbads passiert:

• Zeitpunkt t₁ fließt die Wassermenge | ins Schwimmbecken,
• Zeitpunkt t₂ fließt die Wassermenge | ins Schwimmbecken,
• Zeitpunkt t₃ fließt die Wassermenge | ins Schwimmbecken:

Wenn wir nun wissen wollen, wieviel Wasser in allen Zeitpunkten t₁, t₂ und t₃ zusammen geflossen ist, müssen wir die drei Balken |, | und |addieren.

Nun bilden die drei Balken |, | und | aber in unserer

     (zugegebenermaßen vereinfachten)

Darstellung aber die Fläche , d.h. wenn wir den Zu- bzw. Abfluss in einem Zeitraum berechnen wollen, müssen wir die Fläche bzw. das Integral berechnen

(wobei hier nicht - eigentlich dringend nötig - zwischen Fläche und Integral unterschieden wird):

Um nun zu erfahren, wieviel Wasser in den ersten drei Stunden, also während der Reinpumpphase zufließt, rechnen wir

 15,75 (m³) 

Wohlgemerkt: das ist

• NICHT die Wassermenge im Schwimmbecken nach drei Stunden, sondern
• die in dieser Zeit zugeflossene Wassermenge.

Um nun herauszubekommen, wieviel Wasser denn nun nach drei Stunden insgesamt im Schwimmbecken ist, müssen wir noch den Anfangswert 10 m³ addieren und erhalten 25,75 m³ .