Modul*-Mathematik

Vorbemerkungen
ein Aufgabenbeispiel
      Module I: das Kochrezept
      Module II: Austauschen

Vorbemerkungen

Bei der industriellen Fertigung technischer Geräte hat sich mehr und mehr die Modulbauweise durchgesetzt, wofür es verschiedene Gründe gibt:

• Fließbandarbeiter

(vgl. )

müssen nicht mehr die Fertigung des gesamten Geräts beherrschen, sondern nur noch (als Hilfsarbeiter) die Handhabung eines einzigen Teils. Diese Tätigkeit ist aber so idiotisch einfach, dass die Arbeiter auch genauso gut durch gehirnamputierte Roboter ersetzt werden können

(vgl. oben in der Algorithmusdefinition: "Jede mit einem Algorithmus lösbare Aufgabe kann prinzipiell auch von einem Rechenautomaten [also Computer] gelöst werden.")

• Es wird nicht mehr jedes Einzelteil und damit das Gesamtfabrikat in einer Fabrik gefertigt, sondern für die Modulherstellung sind Spezialisten/Zulieferbetriebe zuständig.

• Wenn ein Gerät kaputt geht, muss es nicht mehr komplett auseinander genommen werden, sondern reicht es, ein (defektes) Modul auszutauschen (auch das kann - zumindest von der Idee her - jeder Hilfsarbeiter). Dazu sind die Module üblicherweise in sogenannte "Steckplätze" steckbar, also mit einem Handgriff aus- und einbaubar.
  (Ich halte die angeblich leichte Austauschbarkeit allerdings für einen Mythos: wenn einem heutzutage beispielsweise ein Fotoapparat kaputt geht, kann man ihn meistens komplett wegwerfen bzw. kommt eine Reparatur genauso teuer wie ein Neukauf.)

• Die Module können in verschiedenen Geräten eingesetzt werden, es muss also nicht jedes Einzelgerät komplett neu entwickelt werden.

• Wie an der Computerplatine ("motherboard") oben deutlich wird, kann man (?) Geräte beliebig (?) mit zusätzlichen bzw. besseren Modulen (z.B. zusätzlichem Speicher) auf- und nach"rüsten(!)".

In meiner Darstellung wurde dabei bewusst auf eine gewisse Menschenverachtung angespielt: der Hilfsarbeiter als spottbilliger, beliebig (durch Roboter) ersetzbarer Idiot (also als "human ressource"), der völlig entfremdet vom Gesamtprodukt arbeitet. Er muss (soll?) gar nichts mehr verstehen, sondern einfach nur stumpfe Standardschritte ausführen (Module einsetzen).

Genau darin liegt auch das mathematische Problem:

• einfach nur einzusetzen bzw. nach vorgefertigtem Schema zu rechnen (also das, was meistens in Schulen läuft),

  • bezeichne ich nurmehr als letztlich auch die SchülerInnen entwürdigende

  • und ist in meinen Augen überhaupt keine wirkliche Mathematik;

• sondern Mathematik ist doch - um im Bild der Fertigung technischer Geräte zu bleiben - die Planung

  • des modularen Aufbaus (der Computerplatine)

  • bzw. des allgemeinen Computerprogramms, in das man konkrete Werte einsetzen kann, um nicht in jedem Einzelfall alles komplett neu rechnen zu müssen.

Schön klar machen kann man das am mathematisch nun wirklich zentralen Begriff der "Funktionen"

(vgl. ):

Allerdings sollte in der Industrie wie in der Schule jeder mal "Idiotentätigkeiten" ausgeführt haben:

1. , damit der Ingenieur die Hilfsarbeiter nicht verachtet,

2. , damit der Ingenieur erfährt, was überhaupt praktisch machbar ist
   (viele Industrieprodukte - z.B. Haushaltsgeräte - sehen ja so aus, als hätten die Ingenieure sie nie praktisch ausprobiert, und ich würde beispielsweise jeden Konstrukteur eines Mixers verdonnern, ihn auch mal zu säubern),

3. schon auf die Mathematik bezogen: weil ein einziges konkretes Beispiel oftmals alle falsche Theorie widerlegen kann,

4. , weil einem (in der Mathematik) die allgemeinen Ideen oftmals überhaupt erst kommen, nachdem man einige konkrete Beispiele durchgerechnet hat.

Ist es nicht so oder so zynisch, von "Idiotentätigkeit" zu sprechen?:

• in der Industrie,

  • weil da eben nicht nur eine Menschenverachtung angeprangert wird, die darin besteht, Menschen überhaupt bei Fließbandarbeit einzusetzen
    (und vielleicht ist es sogar noch zynischer, sie durch Roboter zu ersetzen!),

  • sondern weil auch jedem Fließbandarbeiter die Würde abgesprochen wird
    (u.a. ein Spaß an seiner Arbeit, den er vielleicht doch hat),

• und entsprechend in der Schule (Schulmathematik),

  • weil da nicht nur die Schülerverachtung angeprangert wird, die darin besteht, SchülerInnen stumpf Aufgaben rechnen zu lassen,

  • sondern weil damit den SchülerInnen die Würde abgesprochen wird
    (u.a. ein Spaß am einfachen Rechnen, den sie vielleicht doch haben; vgl.  "Kinder brauchen Idiotentätigkeiten").

Ich meine allerdings, dass man SchülerInnen gegenüber durchaus so mit offenen Karten spielen darf

("jetzt ist solange idiotisches Rechnen angesagt, bis aber auch jedeR es im Schlaf beherrscht"):

• sie haben sehr wohl Verständnis dafür, dass ab und zu stumpfe Rechenarbeit stattfinden bzw. das Handwerkszeug geübt werden muss;

• schlimm ist es nur, wenn es dabei bleibt.

Die Schwierigkeiten, die sich zumindest beim ersten Lösen solch einer Aufgabe wie unten ergeben, lassen sich auch durch den Vergleich mit einem Puzzle erhellen:

• Da liegen viele einzelne Puzzlesteine (Module) unsortiert nebeneinander und wollen erst in die richtige Ordnung gebracht werden.

• Einige Puzzlesteine sehen sehr ähnlich aus - und haben doch entscheidende Unterschiede
  (mein Bruder hat seinerzeit - vom Schwachsinn getrieben - eins dieser Monsterpuzzle mit 1500 Steinen zusammengesetzt, von denen die Hälfte den ununterscheidbar blauen Himmel zeigte).

• Zwar bestehen Mathematik"puzzles" oftmals nur aus sehr wenigen

(und doch, wie wir unten sehen werden, erstaunlich vielen)

Steinen ("Babyniveau"), dafür liegen sie aber nicht fertig vor, sondern wollen überhaupt erst gefunden bzw. hergestellt werden.

• Ein Vorteil besteht allerdings darin, dass - im Gegensatz zu einem üblichen Puzzle - bei Matheaufgaben die Puzzlesteine in verschiedenen Aufgaben passen und teilweise schon aus vorherigen Aufgaben bekannt sind
  (jede Wette: eine neue Aufgabe verlangt "nur" eine neue Kombination der Puzzlesteine und meist nur einen zusätzliche Puzzlestein - aber welchen?).

ein Aufgabenbeispiel

Es wurde bewusst solch eine Standardaufgabe gewählt, über deren Sinn und Zweck hier nicht diskutiert werden soll

(nur so viel: die Bestimmung von Normalen ist reine Schikane und hat nicht mal innermathematisch Nährwert - außer, um an den Haaren herbeigezogene Minimaxaufgaben zu stellen; oh jadoch, ich höre schon Widerspruch: die Normale sei aber doch enorm wichtig beim Einfalls-/Ausfallswinkel in parabelförmigen Antennen und Scheinwerfern):

Was an dieser Aufgabe ist so (geradezu langweilig) "Standard"?

1. das Geforderte:

• Berechnung von Geradengleichungen,
• Tangente und Normale
  (auch wenn kein Mensch weiß, wofür man eine Normale überhaupt braucht).

2. die "Zutaten" und vor allem ihre Kombination:

• Ableitung,
• Bestimmung von f(x₀) aus x₀,
• Gleichungsumformungen, um Unbekannte auszurechnen.

Die Aufgabe ist auch in dem Sinne "Standard", dass sie

(zumindest dann, wenn noch nicht eine Serie solcher Aufgaben behandelt wurde)

vielen SchülerInneN ganz erhebliche Schwierigkeiten bereitet - und sei´s schon allein beim Textverständnis: die scheinbar doch so einfache, verkürzte Sprache ist nämlich für viele SchülerInnen keineswegs verständlich:

• sie verstehen nicht, dass "Bestimmen Sie je eine Gleichung" bedeutet: "stellen Sie je eine Geradengleichung [also der Form y = mx + c] auf";

• das impliziert: sie schließen nicht Tangente/Normale → (geometrische) Geraden → (algebraische) Geradengleichungen;

• so klitzekleine Wörtchen wie "je eine" (d.h. eine für die Tangente, eine andere für die Normale) werden überlesen oder falsch verstanden: je eine für jede Teilaufgabe, also eine für Aufgabe a) und eine für Aufgabe c).

Ganz erhebliche Schwierigkeiten ergeben sich auch

1. durch die Fülle des benötigten (aber nicht mehr ausdrücklich erwähnten) Vorwissens,

2. bei der Zusammenstellung aller vorliegenden Informationen und

3. deren sinnvoller Kombination.

Hier ist nicht der Platz zu beschreiben, wie im Unterricht der Weg zum Ziel gefunden werden könnte.

Aber es sei in einem ersten Schritt klar gemacht, aus welchen - noch unsortierten - Modulen (!) er besteht:

Module I: das Kochrezept

Hierfür sind im Unterricht durchaus hilfreich:

• "Mindmaps" (sei´s schriftlich, sei´s in Form von Computerprogrammen),

• "Flussdiagramme" (auch wieder schriftlich oder in Form von Computerprogrammen),

• noch besser: regelrechte Bausteine (beschriftete Kartons):

Denkbar wäre es doch, die "Zutaten-Kartons"

• entweder überhaupt erst von den SchülerInnen erstellen zu lassen

• oder aber irgendwo unsortiert hinzustellen und sortieren zu lassen.

Ein solcher Karton könnte dann z.B. so aussehen:

(und inliegend könnte dann noch ein konkretes Beispiel liegen;
dieser Karton scheint mir nebenbei einer der wichtigsten in der gesamten Oberstufe zu sein:
er hilft an allen Ecken und Kanten

• nicht nur in der Analysis,

• sondern auch [leicht variiert] in der Vektorgeometrie)

Ein Kochrezept besteht üblicherweise aus

1. der Liste der Zutaten und

2. der Zubereitung(sreihenfolge)
   (denn schließlich klebt man die Panade nicht nach dem Braten ans Schnitzel).

zu a., also der Zutatenliste:

1. die konkrete Gleichung der Funktion f, an deren Graph die Tangente t/Normale n gelegt werden soll,

2. x₀, also die x-Koordinate des Punktes P ( x₀ |  ), durch den die Tangente t/Normale n gehen soll,

3. die Ableitung von f, also f '

• erst allgemein,

• dann für x₀

_{(und genau hier ging dann später alles schief: vgl.   )}

4. Geradengleichungen:

• t: y = m x + c

• n: y = d x + e
  (unterschiedliche Buchstaben für unterschiedliche Ergebnisse wählen!)

5. d = - ¹/_m

6. Berechnung der y-Koordinate von P als f(x₀) , also P ( x₀ | f(x₀) )

7. Einsetzen von x₀ und f(x₀) in t und n

8. t bzw. n soll durch P gehen

P liegt auf t bzw. n

(wie oben bei sehr ähnlichen Puzzlesteinen angedeutet: zwei scheinbar banal ähnliche Aussagen, aber doch mit entscheidend anderen Sichtweisen)

die beiden Koordinaten von P erfüllen die Funktionsgleichungen von t und n

9. n ist senkrecht zu t

10. m = f ' (x₀)

11. Ableitungsregeln

12. Lösen von Gleichungen

13. last but not least: Grundvorstellungen vom Aussehen der Graphen ganzrationaler Gleichungen
    (und damit der rechnerischen Ergebnismöglichkeiten)

Ein Problem gleich zu Beginn ist, dass die Zutaten keineswegs problemlos der Aufgabenstellung zu entnehmen, sondern für "DurchschnittsschülerInnen" arg verborgen sind. Nur ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Normalen- von der Tangentensteigung. Das sagt sich so einfach:

5. d = - ¹/_m , wobei zudem

10. m = f ' (x₀) ,

aber da muss man erst mal drauf kommen, zumal von beidem ja nirgends in er Aufgabenstellung ausdrücklich die Rede ist.

Und wenn nur eine einzige Zutat fehlt (übersehen bzw. nicht entdeckt) wird, fällt der gesamte Kuchen in sich zusammen (gibt es keine Lösung).

Die Aufgabenstellungen sind also sozusagen für halbprofessionelle Köche gemacht: dass man Eischnee nicht untermixt,sondern unterhebt, wird nicht mal mehr erwähnt.

Die o.g. Liste ist natürlich erst mal Kraut und Rüben, aber keineswegs von mir willkürlich so durcheinander geschüttelt worden, sondern die reale Liste, wie sie sich in einer Klasse ergab.

Mit immerhin (sieht man mal von 13. ab) zwölf Punkten ist das schon eine ganz erstaunlich lange Liste, die klar macht, wie enorm viel SchülerInnen doch gleichzeitig parat haben und beherrschen müssen, um die doch noch relativ einfache Aufgabe zu lösen.

Es kommt eine andere, noch erheblich fatalere Schwierigkeit hinzu:

• es reicht eben nicht, die erst ungeordnete Liste dann nachträglich zu ordnen,

• sondern man muss schon vorweg wissen, worauf man hinaus will, um überhaupt die Liste anlegen zu können.

zu b), also der Zubereitung(sreihenfolge):

Dabei

• werden auf dem roten, violetten und grünen Weg die Zutaten einzeln vorbereitet:

  • der rote Weg:

    • auf dem roten Weg werden die Geradengleichungen von t und n noch allgemein aufgestellt,

    • die Rechtwinkligkeitswerkstatt: es wird auch schon der Steigungszusammenhang von t und n eingebracht;

  • die Funktionswerkstatt:

    • auf dem violetten Weg wird f (x₀) berechnet

    • auf dem grünen Weg wird m = f ´ (x₀) berechnet

• ab  8.  (Gleichungswerkstatt) werden die Zutaten zusammengeschüttet und umgerührt, d.h.  beiden Geradengleichungen von t und n mit konkreten Zahlen gefüllt.

Durch das Diagramm werden eine Fülle von Schwierigkeiten deutlich:

1. musste die o.g. Zutatenliste erheblich umgeordnet werden

(z.B. braucht man ganz rechts 11. vor 3.)

2. die drei Pfade (rot, violett, grün) sind unabhängig von einander gangbar - und müssen dann dennoch gleichzeitig in  8.  zusammen finden

(und dennoch erscheint es bei der Frage nach Tangente und Normale, also Geraden, sinnvoll, erst mal die allgemeinen Geradengleichungen aufzustellen, also mit dem roten Weg  4. - 9. - 5. zu beginnen)

Module II: Austauschen

Irgendwann sollten die SchülerInnen lernen:

"kennste eine, kennste alle",

d.h.:

• wenn man Aufgabe a) gelöst hat, funktioniert Aufgabe c) genauso,

• bzw. letztlich interessieren

  • nicht die konkreten Einzelfunktionen f(x) = x - x³  bzw. f(x) = x⁴ - 2x²  und auch nicht die konkreten Einzelwerte x₀ = 1 bzw. x₀ = 2,

  • sondern das prinzipielle (ewig gleiche) Verfahren.

Sie sollten lernen, ein Art "Computerprogramm" (natürlich ohne Programmiersprache) zu schreiben, das zu allen speziellen Funktionen und speziellen Werten von x₀ die zugehörigen Tangenten- und Normalengleichungen "auswirft".

Eine Möglichkeit, um dahin zu kommen, bestünde darin, bei der Lösung von Aufgabe a)

• alles Allgemeine mit Kugelschreiber,

• alles Konkrete aber mit Bleistift

schreiben zu lassen - so dass man letzteres für die Aufgabe c) nur noch ausradieren und ersetzen müsste.

Ich fange hier hingegen (um die Modultechnik zu zeigen) gleich allgemein an und setze erst später die konkreten Werte aus Aufgabe a) bzw. c) ein.

Das ist natürlich das erheblich schwierigere und wohl kaum pädagogische, aber doch eigentlich mathematische Vorgehen:

t: y =      m     x   + c	n: y =          d      x + e
	n: y =           x + e
t: y   = f ' (x0) x   + c                (*)	n: y    =  x  + e                   (*)
da P (x0 | f (x0) ) auf t liegt:	da P (x0 | f (x0) ) auf n liegt:
f (x0) = f ' (x0) x0 + c	f (x0) = x0 + e
f (x0) -  f ' (x0) x0 = c	f (x0)  - x0 = e
Einsetzen für c in die Gleichung (*) ergibt:	Einsetzen für e in die Gleichung (*) ergibt:
t: y = f ' (x0)   x   + f (x0) -  f ' (x0) x0   (**)	n: y =    x + f (x0)  - ( ) x0    (**)

Mit den Modulen

• = x₀

• = f (x₀)

• = f ' (x₀)

als einzigen "Zutaten" ergeben sich also in geschickten Kombinationen die Geradengleichungen

t: y =         x   + -        •     y =          m           x   +                              c  n: y = - x  +   - (-)•     y =            d          x  +                                  e

Wohlgemerkt: nach Wahl von f und x₀ liegen dann nur noch die Variablen x und y und damit typische Geradengleichungen vor.

Der Vorteil der "Modultechnik" in den Gleichungen (**) ist nun aber, dass damit

• alle Tangenten und Normalen

• zu allen Funktionen f

• in allen Punkten P ( x₀ | f(x₀) )

errechnet werden können, mit der jeweiligen Gleichung also unendlich viele Fälle "erschlagen" sind.

(vgl. )

Nun zu den konkreten Aufgaben:

1. f(x) = x - x³ ; x₀ = 1      

f(x₀) = f (1) = 1 - 1³ = 1 - 1 = 0, insgesamt also f (x₀) = 0

f ' (x) = 1 - 3x² f ' (x₀) = f ' (1) = 1 - 3•1² = 1 - 3 = - 2, insgesamt also f ' (x₀) = -2

Für die oben erarbeiteten Module ergibt sich also:

= 1             = 0                = -2

Einsetzen in die Modulgleichungen ergibt

• 

Insgesamt erhalten wir also die höchst einfache Tangenten(geraden!)gleichung

t:  y =            -2             x   +                                 2

• 

Insgesamt erhalten wir also die höchst einfache Normalen(geraden!)gleichung

n:  y =            ¹/₂           x   -                                 ¹/₂

3. f(x) = x⁴ - 2x² ; x₀ = 2

f(x₀) = f (2) = • 2⁴ - 2•2² = • 16 - 2•4 = 4, insgesamt also f (x₀) = 4

f ' (x) = 3x³ - 4x f ' (x₀) = f ' (2) = 3•2³ - 4•2  = 16, insgesamt also f ' (x₀) = 16

Für die oben erarbeiteten Module ergibt sich also:

= 2             = 4                = 16

Einsetzen in die Modulgleichungen ergibt

• 

Insgesamt erhalten wir also die höchst einfache Tangenten(geraden!)gleichung

t: y =            16             x   -                                 28

• 

Insgesamt erhalten wir also die höchst einfache Normalen(geraden!)gleichung

n: y =           -¹/₁₆          x   +                                 4,125