anSCHAUliche GrundBILDung

"Heilige Maria Montessori,
bitte für uns
[auch in der gymnasialen Oberstufe]!"

Wenn ein Mathematiker bei einem Beweisschritt 
"wie man leicht sieht (folgt daraus ...)" sagt,
sieht (!) man garantiert nix mehr!
Und wenn es "daraus folgt trivialerweise" heißt,
ist es üblicherweise alles andere als "trivial",
sondern braucht man mindestens drei Stunden für die Zwischenschritte
(und wenn man nachfragt, kommt der Sprecher meist auch
über das angeblich so "Triviale" [die hinterhältigen Kinderfragen] ins Grübeln).

"Ich hatte das Gefühl,
durch die Oberfläche der atomaren Erscheinungen hindurch
auf einen tief darunter liegenden Grund
von merkwürdiger innerer Schönheit zu schauen [...]."
(Werner Heisenberg)

"Rettet die Phänomene!"
(Martin Wagenschein)

"Wenn ihr's nicht fühlt [vor eurem inneren Auge seht],
 ihr werdet's nicht erjagen."
(Johann Wolfgang von Goethe)

"[...] dass wir, die wir die Erben der Aufklärung sind,
in einer gläsernen Welt leben,
in der wir alles durchschauen
und nichts mehr sehen."
(Hans-Werner Schütt)

über den Planeten Neptun,
dessen Position zwar schon berechnet war,
den aber noch niemand gesehen hatte:
"Wir sehen ihn,
wie Kolumbus Amerika [Indien?] von der spanischen Küste aus sah."
(John Herschel)

"Bilder mögen vielleicht für kleine Kinder nützlich sein;
Lagrange verzichtete gänzlich auf solche kindlichen Behelfe,
als er seine analytische Mechanik aufbaute.
Unsere Neigung, die Analysis zu »geometrisieren«,
ist möglicherweise nur ein Beweis, daß wir noch nicht erwachsen sind.
Bekanntlich erzielte Newton seine großartigen Ergebnisse
zunächst analytisch und kleidete sie dann erst in die Darstellungsform eines Apollonius,
teils weil er wüßte, daß die Menge, die in Mathematik weniger begabt war als er,
nur dann an die Wahrheit eines Satzes glauben würde,
wenn dieser von einem hübschen Bild begleitet
und nach der Art Euklids fein säuberlich dargestellt war,
teils weil er selbst noch immer vorzugsweise im vorkartesischen Zwielicht der Geometrie verharrte."
(Eric Temple Bell)

"Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder ..."
(Jesus)

Vorüberlegungen
konkrete Veranschaulichungsmöglichkeiten

• Ein Mädchen wollte zu seinem Geburtstag für Freunde kochen. In einem Rezept wurden 250 ml einer Zutat für ein Essen für zwei Personen gebraucht. Das Mädchen sah sich außerstande herauszufinden, wieviel es von dieser Zutat für acht Personen brauchte.

• Ein Junge hatte von seinen Eltern die Erlaubnis, sein kleines Zimmer neu zu tapezieren und zu streichen - und kaufte zu diesem Zweck zehn Rauhfaserrollen.

Das sind (zudem nur zwei) Momentaufnahmen, die nun nicht pauschal verallgemeinert werden sollen

(" »die Jugend von heute« ist - wie nicht anders zu erwarten - sogar für die einfachsten Dinge zu blöd";
vgl. :
"Nicht genug damit, dass alle auf den geplagten Schüler eindreschen, weil er nicht lesen und/oder nicht rechnen kann; jetzt stellt sich heraus, er ist auch noch zu doof zum Telefonieren!" )

"Wer ohne Sünde ist, werfe den ersten Stein", und überhaupt schimpfen immer die dümmsten Idioten

(die selbst bei PISA ganz alt aussehen würden)

über die angebliche Unfähigkeit der heutigen Jugend: jeder "verhaut" sich mal derart mit seinen Ein- und Abschätzungen  (vgl. die Zahlenblindheit auch vieler Erwachsener: ).

(Ich selbst bin letztens zweimal nachträglich in einen Baumarkt gefahren, weil ich mich bei der Abschätzung der benötigten Latten für ein Regal wunderhübsch vertan hatte - und dann über meine eigene Dämlichkeit grinsen musste.)

Um die o.g. Momentaufnahmen aber probeweise doch weiter zu denken: woran liegt's?

Die Mutter des o.g. Mädchens sah den Grund in fehlender Rechenfertigkeit (4 ● 250 ml = 1000 ml = 1 Liter).

Nun,

1. "rechnet" man sowas doch nicht, bzw. dass 4 ● 250 ml = 1000 ml ist, ist allzu selbstverständlich.
   Aber ist es das wirklich, oder setze ich da schon (weil ich selbst es habe) allzu leichtfertig ein Grundverständnis des Dezimalsystems und der Bruchrechnung voraus? Ich denke doch eher von den 1000ml = 1 Liter aus, von denen/dem 250 ml genau ein Viertel ist. D.h. für mich ist erst der Liter, also das Ganze da und dann sein Viertel, also der Teil (bzw. das halbe Pfund), so dass ich, wenn überhaupt, nur 4 ● "rechne", was banalerweise (ich wusste es ja schon vorher) 1 ergibt.

Nebenbei: hätte in dem Rezept statt 250 ml die Maßangabe 290 ml gestanden, so hätte ich, der ich in Kopfrechnen ja auch nicht gerade eine Leuchte bin, vermutlich ähnliche Schwierigkeiten gehabt wie das Mädchen. Oder doch nicht?:

• rechnerisch würde ich das ja (gerade wegen meiner Vorkenntnis bzgl. des Viertels) folgendermaßen zerlegen:
  4 ● 290 ml = 4 ● 250 ml + 4  ● 40 ml =
                   =    1000   ml +   160    ml = 1160 ml.
• vermutlich würde ich aber sogar runden bzw. eine überschlagsrechnung machen:
             250 ml <       290 ml <        300 ml
  => 4 ● 250 ml < 4 ● 290 ml < 4 ● 300 ml  ← das rechnet man natürlich nicht
  =>    1000  ml <        ???      <     1200 ml
  =>                            ???      ≈     1100 ml
  (und der Fehler von 60 ml "macht den Kohl auch nicht fett"; zudem war ja zu ahnen, dass, weil 290 ml näher an 300 ml als an 250 ml liegt, das Ergebnis näher an 1200 als an 1000 ml liegt, also etwa 1150 ml ist).

Meine ersten Vermutungen sind also: SchülerInnen beherrschen zu wenig die simpelsten Grundlagen

• des Dezimalsystems,
• der Bruchrechnung,
• des (im Mathematikunterricht sträflich vernachlässigten) Rundens und überschlagens.

Man könnte fast sagen:

es wird viel zu viel statt zu wenig gerechnet (und sowieso ist Mathematik das glatte Gegenteil von Rechnen [nichts imponiert einem echten Mathematiker weniger als ein Rechenkünstler = Rechenidiot], bzw. zum mühsamen Rechnen sind sich Mathematiker viel zu schade).

Und ein Hauptgrund scheint mir allemal darin zu liegen, dass die SchülerInnen sofort zum (in Schulen fatal verfrüht eingeführten) Taschenrechner greifen, der

• mit Dezimalzahlen statt Brüchen rechnet
• und allzu suggestive (und sowieso bedingungslos "geglaubte"), fertige Ergebnisse ausspuckt, so dass eine Einschätzung der Größenordnung sich erübrigt bzw. die Zahlen völlig abstrakt bleiben
  (wer sieht schon, dass sich hinter 0,142857 der simpel-anschauliche Bruch verbirgt?:
  • 0,142857 ist ein völlig uneinsehbares Ergebnis wie ein Kubikmeter Stahlbeton,
  • ist ein Prozess bzw. eine Tätigkeit  :
    "du hast zum Geburtstag eine wunderschöne Torte  bekommen, von der Du mit Deinen sechs Freunde essen willst").

2. aber scheint mir das alles mit Mathematik (oder gar - igitt! - Rechnen) reichlich wenig zu tun zu haben, bzw.

• es fehlt an echter Anschauung, die eine Grundvoraussetzung von Mathematik ist,
• bei der die Mathematik aber auch helfen kann.

Ich unterstelle also mal probeweise, dass das o.g. Mädchen mit zweierlei keinerlei Anschauung verbindet:

• mit 250 ml (noch unabhängig von der Maßeinheit)
  • und zwar sowohl "mathematisch": Liter
  • als auch mengenmäßig:
• mit der Einheit Milliliter:
  • SchülerInnen verwechseln gerne Milli- und Centiliter ;
  • und überhaupt ist ihnen oftmals die räumliche Definition des Liters unbekannt:

(und ein Kilogramm ist ein Liter Wasser,
d.h. Längeneinheit → Volumeneinheit → Gewichtseinheit

Urmeter )

Ihnen "begegnen" Liter ja immer nur in anderer Form:

Die Milch fällt sozusagen quader- statt würfelförmig vom Himmel

(und kommt ja sowieso aus der Fabrik und nicht
- eklig!? -
lauwarm aus einem echten Euter),

und das Bier wird sogar zylinderförmig (und manchmal fatalerweise sogar konisch) geboren.

Könnte all das daran liegen, dass heute alles fertig abgepackt ist?:

• man sagt nicht mehr beim Fleischer "ich hätte gern 250 Gramm (bzw. viel hübscher: ein halbes Pfund) Gehacktes"
  ("gnädige Frau, dürft's ein bisschen mehr sein?"),

• man braucht also gar keinen Zusammenhang zwischen Zahl und Volumen mehr,

• sondern man nimmt sich im Supermarkt "nach Augenmaß" (und ohne genauere Betrachtung der Gewichtsangabe) eingeschweißtes Gehacktes aus dem Kühlregal.

Und für Backmischungen braucht auch gar keine Waage mehr, bzw. an einer elektronischen Waage "sieht" man nichts mehr wie noch an Balkenwaage;

etwa so, wie ein ICE völlig abstrakt und statisch-tot ist im Vergleich mit einer Dampflock ;

Die elektronische Waage und der ICE verleugnen mittels ihrer glatten Verpackung und Elektrik sich selbst, sie "wollen" keine Technik mehr sein.

Ohne nun nostalgisch à la "früher war alles noch aus Holz" zu werden, sei doch mal angefragt:

Ist da was dran?:

"Die Welt, in der Kinder aufwachsen, hat sich in den letzten Jahrzehnten sehr stark verändert. Ein ganzes Bündel an Ursachen lässt sich dafür ausmachen: Der Straßenverkehr nimmt unvermindert zu, und überall dort, wo Kinder früher unbehelligt und relativ ungefährdet spielen konnten, wachsen Parkplätze aus dem Boden. Bequem und gefahrlos erreichbare Bewegungsräume und Spielzonen werden rar. Die Folge: Immer mehr Eltern verbieten ihren Kindern aus Sorge vor Unfällen, alleine auf die Straße zu gehen.
Stattdessen verbringen die Kleinen immer mehr Zeit vor dem Bildschirm oder dem PC. Das "technisierte Kinderzimmer" mit Computerspielen und Fernsehen gaukelt vielfältige Möglichkeiten zur Eigentätigkeit und zur Erkundung und Beherrschung der Welt vor, wo in Wirklichkeit nur Knöpfe gedrückt und Steuertasten bedient werden. Die verbleibende Freizeit wird nur zu oft von prallgefällten Terminkalendern diktiert, die vom Besuch der Musikschule bis zum Computerkurs einseitig auf die fördernung kognitiver Fähigkeiten und Kompetenzen ausgerichtet sind.
Hinzu kommt der Trend hin zur Ein-Kind-Familie sowie zu Familien mit allein erziehendem Elternteil, der aufgrund fehlender Spielpartner zu Hause den motorischen Defiziten weiter Vorschub leistet. Die Kinder wachsen in einer Umgebung auf, die allenfalls geistige Mobilität zulässt. Ein Vergleich vermag dies zu verdeutlichen: Um die Jahrhundertwende kannten Kinder noch rund hundert Bewegungsspiele, heute sind es durchschnittlich fünf.
Die Defizite, die sich daraus für ihre motorischen und sensorischen Fähigkeiten sowie ihre allgemeine Entwicklung ergeben, werden dabei gerne übersehen. Gerade hier besteht jedoch großer Handlungsbedarf, ist gezielte fördernung notwendig, um die früher "einfach nebenher" erworbenen Kompetenzen zu erlangen.
[...]
Seit Jahren sind die Ergebnisse der Einschulungsuntersuchungen alarmierend. Zahlreiche Studien besagen, dass jedes dritte Kind an übergewicht leidet, bei bis zu 60 % aller Sechsjährigen werden Haltungsprobleme diagnostiziert. Die Zahl der Kinder mit Koordinationsschwierigkeiten - mehr als 50 % - nimmt ebenso zu wie die permanente Verschlechterung in den Bereichen Ausdauer, Kraft und körperlicher Fähigkeiten insgesamt."

(zitiert nach  )

Viele Fünftklässler - so musste ich mir letztens von einer anderen Schule sagen lassen - können nicht mal mehr ihre Schnürsenkel zubinden. Weil Pappi und Mammi ihnen das noch immer abnehmen - oder weil es sowieso nur noch Klettverschlüsse gibt?

Und wenn da was dran wäre, beträfe das nicht auch gewisse haptische und anschauliche Grundlagen der Mathematik?

Nun sei man allerdings vorsichtig: wenn überhaupt, so haben die Jugendlichen heute ja vielleicht andere, zur modernen Welt eventuell sogar besser passende Fähigkeiten (was mit den kognitiven Kompetenzen im Text oben immerhin angedeutet wird).

Vor allem gerät man mit der Unterstellung, Jugendlichen heute fehlten "elementare" Fähigkeiten, sehr schnell in pure Nostalgie bzw. biologistisches (?) Fahrwasser:

"Es wurden acht von einander unterscheidbare, wenn auch in enger ursächlichem Zusammenhang miteinander stehende Vorgänge besprochen, die nicht nur unsere heutige Kultur, sondern die Menschheit als Spezies mit dem Untergang bedrohen. Diese Vorgänge sind:

(1)  Die übervölkerung der Erde, die jeden von uns durch das überangebot an sozialen Kontakten dazu zwingt, sich dagegen in einer grundsätzlich »un-menschlichen« Weise abzuschirmen, und die außerdem durch die Zusammenpferchung vieler Individuen auf engem Raum unmittelbar aggressionsauslösend wirkt.

(2)  Die Verwüstung des natürlichen Lebensraumes, die nicht nur die äußere Umwelt zerstört, in der wir leben, sondern auch im Menschen selbst alle Ehrfurcht vor der Schönheit und Größe einer über ihm stehenden Schöpfung.

(3)  Der Wettlauf der Menschheit mit sich selbst, der die Entwicklung der Technologie zu unserem Verderben immer rascher vorantreibt, die Menschen blind für alle wahren Werte macht und ihnen die Zeit nimmt, der wahrhaft menschlichen Tätigkeit der Reflexion zu obliegen.

(4)  Der Schwund aller starken Gefühle und Affekte durch Verweichlichung. Fortschreiten von Technologie und Pharmakologie fördern eine zunehmende Intoleranz gegen alles im geringsten Unlust Erregende. Damit schwindet die Fähigkeit der Menschen, jene Freude zu erleben, die nur durch herbe Anstrengung beim überwinden von Hindernissen gewonnen werden kann. Der naturgewollte Wogengang der Kontraste von Leid und Freude verebbt in unmerklichen Oszillationen namenloser Langeweile.

(5)  Der genetische Verfall. Innerhalb der modernen Zivilisation gibt es – außer den »natürlichen Rechtsgefühlen« und manchen überlieferten Rechtstraditionen – keine Faktoren, die einen Selektionsdruck auf die Entwicklung und Aufrechterhaltung sozialer Verhaltensnormen ausüben, wiewohl diese mit dem Anwachsen der Sozietät immer nötiger werden. Es ist nicht auszuschließen, daß viele Infantilismen, die große Anteile der heutigen »rebellierenden« Jugend zu sozialen Parasiten machen, möglicherweise genetisch bedingt sind.[???]

(6)  Das Abreißen der Tradition. Es wird dadurch bewirkt, daß ein kritischer Punkt erreicht ist, an dem es der jüngeren Generation nicht mehr gelingt, sich mit der älteren kulturell zu verständigen, geschweige denn zu identifizieren. Sie behandelt diese daher wie eine fremde ethnische Gruppe und begegnet ihr mit nationalem Haß. Die Gründe für diese Identifikations-Störung liegen vor allem in mangelndem Kontakt zwischen Eltern und Kindern, was schon im Säuglingsalter pathologische Folgen zeitigt.

(7)  Die Zunahme der Indoktrinierbarkeit der Menschheit. Die Vermehrung der Zahl der in einer einzigen Kulturgruppe vereinigten Menschen führt im Verein mit der Vervollkommnung technischer Mittel zur Beeinflussung der öffentlichen Meinung zu einer Uniformierung der Anschauungen, wie sie zu keinem Zeitpunkt der Menschheitsgeschichte bestanden hat. Dazu kommt, daß die suggestive Wirkung einer fest geglaubten Doktrin mit der Zahl ihrer Anhänger wächst, vielleicht sogar in geometrischer Proportion. Schon heute wird mancherorts ein Individuum, das sich der Wirkung der Massenmedien, z.B. des Fernsehens, bewußt entzieht, als pathologisch betrachtet. Die ent-individualisierenden Effekte sind allen jenen willkommen, die große Menschenmassen manipulieren wollen. Meinungsforschung, Werbetechnik und geschickt gesteuerte Mode helfen den Großproduzenten diesseits und den Funktionären jenseits des Eisernen Vorhanges zu gleichartiger Macht über die Massen.

(8)  Die Aufrüstung der Menschheit mit Kernwaffen beschwört Gefahren für die Menschheit herauf, die leichter zu vermeiden sind als jene, die den vorher besprochenen sieben Vorgängen entspringen.

(Wenn ein Buch im Titel die Todsünden enhält, wird's verdächtig schnell reaktionär, prophetisch und apokalyptisch.)

Die entscheidende Frage ist doch, weshalb "richtige" MathematikerInnen

(was immer das sei und wer sich überhaupt dazu zählen darf)

so relativ einfach mit ihrem Handwerkszeug jonglieren können (die Augen offen haben für neue Probleme), während viele Schüler-/AnfängerInnen immer wieder dieselben Fehler machen und vielleicht stur rechnen können, damit aber keinerlei tieferes Verständnis verbinden.

Sicherlich ist bei "richtigen" MathematikerInneN vieles pure Routine: beispielsweise über (a + b)² = a² + 2ab + b² (und zwar inkl. des "gemischten Gliedes" 2ab, das SchülerInnen doch allzu gerne vergessen) denkt man nicht mehr nach, sondern das fließt einem flüssig aus der Feder.

Und dennoch ist mir das eine zu einfache Antwort, die schon alles voraussetzt bzw. dem Zufall überlässt. Man muss doch erst mal "richtigeR MathematikerIn" geworden sein.

Mir scheint eher:

1. muss man das mehrfach leidvoll falsch gemacht (das gemischte Glied - was ja sehr naheliegend ist! - vergessen haben), um drauf zu achten;

2. muss man intuitiv verstanden haben, wozu der "Binomi" überhaupt dient bzw. eingeführt wurde, nämlich als viel Arbeit ersparende Verkürzung von
   (a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

3. hat man vielleicht eben doch noch im Hinterkopf die geometrische Veranschaulichung

,

bzw. wenn schon nicht das, so bleiben einem aber doch wenigstens die Terme (z.B. a²) nicht rein algebraisch, sondern werden geometrisch gedacht (a² eben als Quadrat),

4. ist a² + 2ab + b² ein "Tanz der Zweien" (eben auch, weil "bi" 2 bedeutet):

Das gleiche gilt nebenbei für Kreisumfang und -fläche:

(... wobei es hier eben gerade nicht um die pure Kenntnis von Formeln geht: beispielsweise die Formel für das Kugelvolumen "muss" man eben nicht auswendig kennen, sondern die schlägt man ggf. in einer Formelsammlung nach;
an Kreisumfang und -fläche zeigt sich aber noch etwas entscheidendes Anderes, nämlich die Notwendigkeit tieferen Verständnisses bzw. von Anschauung: da die Kreislinie [der Umfang] eindimensional ist, muss r¹ = r auftauchen, da die Fläche zweidimensional ist, muss r² auftauchen:
es empfiehlt sich also, im Unterricht grundsätzlich parallel Geometrie und Algebra zu betrachten.)

5. A propos "Tanz der Zweien": die Formel a² + 2ab + b² ist vor allem ein Rhythmus (4/4-Takt) bzw. Musik:

       

    /    _      _       _      /     _   _    _            /     _       _

  a Qua-drat plus zwei a  b plus      b Qua-drat

(während der Satz des Pythagoras ein  -Takt ist!)

6. Der "Binomi" ist aber für einen "richtigen" Mathematiker noch mehr als nur die praktische, aber notfalls auch entbehrliche Verkürzung einer Rechnung; nämlich auch eine "Gnade Gottes", um quadratische Gleichungen lösen zu können.

Vgl. nur beispielsweise Einsteins Überlegung "Wie wäre es, wenn man hinter einem Lichtstrahl herliefe? Wie, wenn man auf ihm ritte?"

(Dabei ist Anschauung nicht mit Anwendung zu verwechseln; vgl. "Anschauung statt Anwendung".)

Die Rahmenrichtlinien für das Fach Mathematik in NRW sprechen ausdrücklich von einem "Orientierungswissen".

Dabei übertreibe ich mittels roter Hervorhebung mal, was ich sonst nicht ausstehen kann: eine tiefgründig-bedeutungsschwangere "Jesus-liebt-dich-Bindestrich-Metaphorik" à la "be-greifen", die letztlich nur ein gefühliger, gegen alle Abstraktion gerichteter und somit anti-intellektueller, wenn nicht gar reaktionärer "Fräher-war-alles-noch-aus-Holz"-Reflex ist.

"Orientierungswissen

Im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe ist es ein wichtiges Anliegen, über das Faktenwissen hinaus den SchülerInnen und Schülern zentrale Ideen und fachliche Zusammenhänge zu verdeutlichen. Dies erfordert in allen Bereichen eine Form von Orientierungswissen, das sie befähigt, Zusammenhänge und Strukturen zu erkennen sowie einzelne Inhalte einzuordnen.

Zum Aufbau von Orientierungswissen erscheinen methodisch u. a. folgende Wege möglich, die auch miteinander kombiniert werden können:

• vorausschauende übersicht über ein noch zu behandelndes Thema

• Rückblick auf ein Thema

• Unterrichtsprojekt

• historische Betrachtungen.

Aus der Sicht der SchülerInnen und Schüler stehen beim Erwerb derartigen Wissens weniger ein logisch-formaler Aufbau oder gar die Deduktion eines Theoriegebäudes im Vordergrund als vielmehr erkenntnisleitende Fragen wie zum Beispiel:

• Wie kommt man zu bestimmten Begriffen oder Methoden?

• Welche Möglichkeiten, Anwendungen ergeben sich hieraus?

• In welchem Zusammenhang stehen Begriffe oder Methoden zu bereits bekannten Inhalten?

Die Entwicklung von Grundvorstellungen, die zu Begriffsbildungen führen, Überlegungen zur Anwendbarkeit sowie auch die Modifikation mathematischer Modelle können in diesem Zusammenhang Aufgabe im Unterricht sein.

So könnte im Rahmen von Inhalten der Analysis zunächst ein noch grobmaschiges Netz von Orientierungswissen folgender Art entstehen, das sich an den eben genannten Leitfragen orientiert:

• Das in mehreren konkreten Kontexten auftretende Problem, an eine Kurve eine Tangente zu legen, erscheint anschaulich lösbar.

• Die algebraische Lösung des Problems erfordert die Bewältigung eines Grenzprozesses.

• So entsteht in der Mathematik das Bedürfnis, den Grenzwertbegriff zu klären, zu präzisieren und handhabbar zu machen.

• Dies ist vergleichbar den Prozessen zur Bestimmung von √2 und anderen Irrationalzahlen.

• In der Differentialrechnung werden dazu Begriffe und Kalküle entwickelt.

• Vergleichbare Näherungsprozesse zur Berechnung von Flächen führen zur Integralrechnung mit den ihr eigenen Begriffen und Rechenregeln ...

Ein derartiges Netz ist bereits tragfähig ohne die Details der angesprochenen mathematischen Inhalte und Methoden im Einzelnen herzuleiten und kann bei Bedarf enger geknüpft werden.

Vor allem in projektartigen Unterrichtsphasen stellen Erwerb und Nutzung von Orientierungswissen für SchülerInnen und Schüler eine wichtige Grundlage ihrer Arbeit dar. Zu lernen, selbstständig auf Hilfsmittel zurückzugreifen, ist Vorbereitung auf wissenschaftliches Arbeiten. Es geht darum, sich selbstständig Informationen aus mathematischer Literatur zu verschaffen, Formeln und Verfahrensweisen zu suchen und anzuwenden, sich in Software einzuarbeiten und sich so mathematische Methoden zur sachgerechten Anwendung verfügbar zu machen.

Auch Themen, die durch vertiefte Erarbeitung zu Gegenständen der Abiturprüfung werden, sollen in Orientierungswissen eingebettet werden. Wo Themen nicht so vertieft werden, um Gegenstand der Abiturprüfung zu werden, muss auf jeden Fall die Verfügbarkeit durch Orientierungswissen sichergestellt werden. Dieses ist nicht mit oberflächlichem Wissen zu verwechseln, da es um die Entwicklung tragfähiger Vorstellungen geht, die insbesondere in Anwendungssituationen erfahren und gestützt werden.

Orientierungswissen sollte auch Gegenstand von Leistungsüberprüfungen (Klausuren) sein. Fragestellungen hierzu werden in der Regel die Darstellung von Zusammenhängen erfordern.

Orientierungswissen in der Analysis

Die für die Analysis wichtige Idee, dass durch Grenzwertbildung die intuitive Vorstellung vom „unendlich Kleinen" bzw. „unendlich Großen" schrittweise präzisiert und rechnerisch handhabbar gemacht wird, sollte sich wie ein roter Faden durch die Erarbeitung der verschiedenen Teilgebiete der Analysis ziehen.

Funktionen und Möglichkeiten ihrer graphischen Darstellung kennen die SchülerInnen und Schüler bereits aus der Sekundarstufe I. Hier haben sie auch schon anhand vieler Beispiele erfahren, dass und wie sich Funktionen für das Modellieren vieler Situationen, insbesondere für das Beschreiben von empirischen und theoretischen Zusammenhängen zwischen messbaren Größen eignen.

Die zentralen Begriffsbildungen der Analysis (vor allem änderungsrate, Ableitung, Differentialquotient, Grenzwert, änderungseffekt, Integral) sollten sich auf intuitive und anschauliche Vorstellungen stützen können, die deshalb auch im Unterricht immer wieder ausdrücklich zu thematisieren sind. Dabei ist darauf zu achten, dass die SchülerInnen und Schüler auf unterschiedliche Veranschaulichungen zurückgreifen können, die sich gegenseitig stützen - etwa beim Differentialquotienten nicht nur auf die geometrische Vorstellung der „Steigung in einem Punkt", sondern z.B. auch auf die physikalische der „Momentangeschwindigkeit" bei beschleunigter Bewegung.

Orientierungswissen in der Linearen Algebra/Geometrie

Die für die Lineare Algebra wichtige Idee, geometrische Objekte (z.B. Geraden, Kreise, Parabeln) algebraisch darzustellen und geometrische Probleme (z.B. die Bestimmung von Schnittpunkten) mit algebraischen Methoden zu lösen, haben die SchülerInnen und Schüler bereits in der Koordinatengeometrie kennen gelernt.

Lineare Gleichungssysteme nehmen eine Schlüsselstellung zwischen Algebra und Geometrie ein. Es werden zum einen geometrische Aspekte algebraisiert, zum andern ergeben sich bei der Untersuchung der Lösungsmengen sowohl geometrische als auch strukturelle Aspekte.

Die Einführung von Vektoren ermöglicht es, Koordinaten zu bündeln. Jeder Punkt im dreidimensionalen Raum kann so durch einen einzelnen Vektor beschrieben werden. Auf diese Weise lassen sich viele grundlegende Operationen (z.B. die Bestimmung von Abständen, Winkeln, Flächeninhalten und Volumina) viel einfacher und effizienter durchführen und eleganter symbolisch hinschreiben.

Matrizen erscheinen einerseits als rechteckige Zahlenschemata, werden andererseits als Bündelung von Vektoren aufgefasst. Mit ihrer Hilfe lassen sich Bewegungen darstellen. So wird z.B. die Bewegung eines Punktes beschrieben als Multiplikation des betreffenden Ortsvektors mit einer Matrix.

Vektoren und Matrizen sind brauchbare Werkzeuge beim räumlichen Strukturieren und Modellbilden. Sie eröffnen darüber hinaus die Möglichkeit zur Verallgemeinerung und Übertragung auf nichtgeometrische Anwendungen.

Orientierungswissen in der Stochastik

Zwei Grundprobleme sind geradezu charakteristisch für unser Alltagsleben:

• Wir werden laufend mit großen Mengen von Daten konfrontiert, auf die wir uns irgendwie „einen Reim machen" müssen, und

• wir stehen immer wieder vor der Situation, dass wir in der Ungewissheit, was die Zukunft bringt, nach Entscheidungshilfen suchen.

für beide Probleme hält die Mathematik Theorien und Verfahren bereit, die uns helfen, mit diesen Unsicherheiten rational umzugehen: Wie man große Mengen von Daten „raffen" kann und das Entscheidende, was in ihnen enthalten ist, herausfiltern kann, sagt uns die Statistik. Und wie wir die Unsicherheit, mit der ein zukünftiges Ereignis eintritt, messbar machen können, sagt uns die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Bei der Vermittlung stochastischen Orientierungswissens ist anzustreben, diese Grundeinsichten anhand einfacher Beispiele plausibel zu machen. Es geht nicht primär darum, die entsprechenden mathematischen Theorien im Detail nachzuvollziehen, als vielmehr darum, im Prinzip zu verstehen,

• wie statistische Aussagen und Darstellungen die Ausgangsdaten zugleich verkürzen und komprimieren, und

• wie man zu Aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch die Kombination von empirischem Wissen und theoretischen Erwägungen kommen kann.

Besonders instruktiv sind dabei die Betrachtung und Analyse von irreführenden Darstellungen (unter welchen Umständen „lügen" Statistiken?) und die Gegenüberstellungen von Wahrscheinlichkeiten mit tatsächlich eintretenden Ereignissen. SchülerInnen und Schüler sollten erfahren, inwiefern sich Wahrscheinlichkeiten als „Grenzwerte" relativer Häufigkeiten deuten lassen.

Schwerpunktmäßig sollte die Rolle der (Beurteilenden) Statistik bei der empirischen Prüfung von Hypothesen im natur- und sozialwissenschaftlichen Bereich erläutert werden: Hier kann für die SchülerInnen und Schüler exemplarisch deutlich werden, wie die mathematische „Zähmung des Zufalls" dazu dienen kann, systematische („signifikante") Zusammenhänge zwischen beobachtbaren Merkmalen von zufälligen zu unterscheiden."

(S. 34ff)

Damit sollte überdeutlich klar sein, wie anschaulich-wortwörtlich man die auftauchenden Begriffe (und insbesondere "Orientierung") probeweise verstehen kann und sollte:

Vgl. unten

Vor einiger Zeit sind in NRW sogenannte "Parallelarbeiten" eingeführt worden: alle 10. Klassen einer Schule schreiben eine Arbeit mit denselben Aufgaben.

(Sinnvoll wäre das - erstens - nur, wenn bzgl. solcher Parallelarbeiten

• der Unterricht gemeinsam vorbereitet würde,

• die Klausuraufgaben gemeinsam erstellt würden,

• eine echte Parallelkorrektur stattfände.

Weil das aber - da LehrerInnen sich sowieso schön um Kopf und Kragen korrigieren - eine enorme Zusatzbelastung wäre, für die Entlastung zu schaffen natürlich wieder mal "vergessen" [?] wurde, findet es glücklicherweise alles nur pro forma statt [Dienst nach Vorschrift] - und dreht man so lange vorher an den Aufgaben und hinterher an der Bewertung, bis das Ergebnis nicht mehr allzu schlecht aussieht.

Liebe Kultusbürokraten, LehrerInnen sind ja nicht vollständig blöd - und lassen sich nicht "verscheißern"!)

Das Besondere an diesen Parallelarbeiten ist, dass in ihnen nicht - wie sonst durchgehend üblich - aktueller, "paukbarer" Stoff abgeprüft wird (den man am Tag drauf wieder vergessen hat), sondern

• langfristig-grundsätzlicher Stoff aus früheren Schuljahren (z.B. der Satz des Pythagoras oder Prozentrechnung), wobei doch immerhin bemerkenswert ist, dass beispielsweise die Prozentrechnung im üblichen Schulunterricht seit damals fast nie wieder aufgetaucht ist
  (u.a., weil sie innermathematisch weitgehend uninteressant ist);

• dieser langfristig-grundsätzliche Stoff auf einfachstem Niveau,

• dafür aber - im üblichen Unterricht auch kaum vorkommend - Anwendung auf anschauliche Situationen.

Die Parallelarbeiten werden also ausdrücklich nicht direkt vorbereitet - und da sind wir beim zweiten Problem: sie (und d.h. vor allem die elementarste Anschauung) werden üblicherweise überhaupt nie vorbereitet, und dementsprechend hilflos stehen die SchülerInnen davor (können beispielsweise mit den Wörtern "Querschnitt" oder "überlappen" nichts anfangen).

All das hat aber seine "guten" Gründe:

1. ist bei der überbordenden Stofffülle überhaupt keine Zeit für echte Anschaulichkeit,

2. verstehen viele MathelehrerInnen unter Mathematik den "inneren" Formalisierungsprozess, nicht aber anschauliche Ansätze,

3. fühlen sie sich also für elementarste Anschaulichkeit überhaupt nicht zuständig bzw. damit auch völlig überfordert
   (und andere Fächer können und wollen das auch nicht leisten).

Ich hingegen meine:

• zwar kann man sich über den Sinn von Parallelarbeiten streiten sowie auch darüber, ob die typischen Aufgaben dort nicht auch wieder weitgehend an den Haaren herbei gezogen sind, also wieder mal nicht das Etikett "Anwendungsaufgaben" verdienen;

• die Grundidee solcher -ähnlichen Anschauungsaufgaben ist aber durchaus richtig (und eben nicht nur um PISAs willen):

  Dafür müsste sich aber der Unterricht aller Schuljahre massiv ändern: neben dem auch wichtigen, bisher allerdings absolut dominanten, ja nachgerade ausschließlichen Formalismus muss sehr viel mehr Anschaulichkeit vermittelt werden, und zwar erst mal ohne alle Formalisierung (z.B. Kegelschnitte durchaus schon in einer 6. Klasse, allerdings noch ohne algebraische Erfassung der Schnittkurven), dann auch die Parallele von Geometrie (Anschauung) und Algebra. Und selbstverständlich ist solche neue Betonung der Anschauung nicht bloßer Selbstzweck (Kuschelpädagogik?), sondern sollen immer auch schon Verfahren und Invarianten herausgearbeitet werden: die Anschauung steht nicht im luftleeren Raum, sondern soll ausdrücklich die Abstraktion vorbereiten. Wir brauchen dringend immer wieder ganze Wochen und Monate des Schneidens, Klebens, Verschiebens, Beleuchtens und Projizierens, Werfens, Rollens, Klebens, Drehens, Schättens, Sägens ... Dafür muss aber natürlich massenhaft anderer Stoff gekippt werden (und ist es nur schizophren, wenn die Kultusbürokratie auf der anderen Seite die Stofffülle immer nur noch weiter erhöht).

Falls die Diagnose überhaupt stimmt, dass heutige Jugendliche zunehmend Anschauungsschwierigkeiten haben, so scheint das im Zeitalter des Fernsehens geradezu paradox.

Zeigt sich da vielleicht in der Mathematik dasselbe Problem wie auch bei Texterschließungen etwa im Fach Deutsch?

Um es an Beispielen festzumachen:

• ein Pendel in der Physik kann nicht verstehen, wer nicht mal eine majestätisch langsam schwingende alte Standuhr gesehen (und aufgezogen!) und mal ein hektisch kurzes Pendel gesehen hat;

• das Meer kann nicht "verstehen", wer nicht weiß, dass seine Wellen bis zu 70 m hoch sein und einen Druck von bis zu 27 Tonnen pro Quadratmeter ausüben können (was massivste Leuchttürme "weggefetzt" hat);

• Astronomie wird sowieso nie verstehen, wer sie ausschließlich tagsüber in geschlossenen Räumen betreibt und nur Einzelfakten erfährt, also beispielsweise nie erlebt hat, wie der Himmel sich nachts um den Nordpol dreht (vgl. ):

Nun aber exemplarisch zu konkreten Veranschaulichungsmöglichkeiten:

Davon sei exemplarisch nur das Gummituch herausgenommen: seine Bedeutung in der

• (zweidimensionalen) Topologie, manchmal auch scherzhaft "Gummituchgeometrie" genannt
  (und diese Gummituchgeometrie scheint mir in der Schule zur "Grundorientierung" [s.u.] durchaus hilfreich):