(die verschärften Origami-Forderungen "nicht schneiden" und "nicht kleben" folgen erst später),

2. mit der Forderung (und das macht ja eben platonische Körper aus), dass alle Seitenflächen eine "gleichmäßige" Form haben sollen,
3. dem selbstständigen Erstellen zweidimensionaler Abwicklungen

(plus Klebefalze)

(und dazu gehört auch: von großen, "repräsentativen" Modellen).

Nun kann es ja nicht angehen, einfach mal feste drauflos zu basteln

(platonische Körper ohne Sinn und Verstand, nur weil sie eben auch in der Mathematik vorkommen),

sondern es ist zu überlegen,

1. was die SchülerInnen leisten können / sollen,
2. was an solchem Vorgehen überhaupt die Mathematik "sein soll".

Dabei ist "sein soll" natürlich bereits eine (hier: selbstironische) Unterstellung, nämlich, dass reine Basteln eben keine Mathematik ist.

Da antworte ich umgehend, dass die Schulung von räumlichem Vorstellungsvermögen und konstruktiven Fähigkeiten durchaus schon ein mathematischer (!) Selbstwert ist.

Aber das ist natürlich arg pauschal - und lässt sich konkretisieren, indem wir zu A. kommen, also der Frage, was "die" SchülerInnen bei platonischen Körpern überhaupt leisten können / sollen:

1. kaum den Beweis, dass es tatsächlich nur die fünf oben gezeigten platonischen Körper gibt

(vgl. und ),

2. durchaus noch die selbstständige Entdeckung des Tetraeders, Würfels und vielleicht auch des Oktaeders

(letzteres evtl., indem man nach dem Tetraeder zur Pyramide mit quadratischer Grundfläche übergeht),

aber vermutlich nicht mehr die Entdeckung des Dodekaeders und des Ikosaeders

(letztere muss man den SchülerInnen wohl wirklich zeigen / vormachen), 

3. entsprechend können SchülerInnen vermutlich noch die Abwicklung des Tetraeders , Würfels und Oktaeders selbst entdecken, brauchen aber wohl Hilfe bei der Abwicklungen des Dodekaeders und des Ikosaeders .

Aber "Hilfe" muss ja nicht (wie so oft) "komplettes Vormachen" bzw. (hier) Verteilen der fertigen Abwicklungen bedeuten.

Nehmen wir als Beispiel die Abwicklung des Oktaeders: die hübsche "Ordnung" dieser Abwicklung würgt doch nur die Frage ab, "wie man drauf kommt".

Nun gibt es allerdings zwei "Arten" von SchülerInneN:

• die eine erstellt solch eine Abwicklung "mit links", wenn auch arg chaotisch: die räumliche Vorstellung dieser ersten Art reicht aus, um auf einem beliebigen Weg am Tetraeder "entlang" zu gehen und damit eine zwar richtige, aber doch unsystematische Abwicklung zu erstellen

(notfalls werden überflüssige Dreiecke hinterher weggeschnitten oder fehlende zusätzlich dran geklebt). 

Bei dieser ersten Art von SchülerInnen gibt es nun zwei Möglichkeiten:

• entweder zwingt man sie frühzeitig zu einer Systematik, deren Notwendigkeit sie zwar noch gar nicht einsehen (können), aber später doch brauchen werden;
• oder man lässt sie mit ihrer Unsystematik so lange gewähren, bis sie mit ihr nicht mehr weiter kommen (s.u. bei der Stufenpyramide).

• die andere Art von SchülerInnen steht schon bei der relativ einfachen Abwicklung des Tetraeders "wie der Ochs vorm Berge".

Dieser zweiten Art von SchülerInnen lässt sich nun aber mit dem

"Zerlegungs- bzw. Das-kann-ich-nicht-/doch-Verfahren"
(das sehr häufig in der Mathematik hilft!)

helfen:

• der ganze Oktaeder ist mir zu kompliziert,
• daher zerlege ich ihn in zwei Teilkörper, nämlich eine erste quadratische Pyramide oben und eine zweite auf den Kopf gestellte unten:

• ich stelle erst nur die Abwicklung der oberen quadratischen Pyramide her:

• die Abwicklung der unteren quadratischen Pyramide sieht dann genauso aus:

• beide klebe ich zusammen

(was natürlich auf verschiedene Arten möglich ist)

und habe damit die Abwicklung des Oktogons:

Dieses Zerlegungsverfahren ist nun aber sehr hilfreich bei den komplizierteren platonischen Körpern

• Dodekaeder: : eine erste "Blüte" oben , eine zweite "Blüte" unten - und dann erst beide zusammen : ein sukzessiver Weg, der allemal besser ist, als das  allzu suggestive statische Ergebnis vorzugeben;
• Ikosaeder: : eine erste "Blüte" oben, eine zweite "Blüte" unten.

Ich halte ja sowieso viel von solchen "Archetypen" in der Mathematik

(vgl. )

wie hier eben "Blüte".

Bleiben wir beispielsweise beim Dodekaeder mit seinen beiden "Blüten"

 :

• man muss diese Blüten mal wirklich dreidimensional gebastelt und gesehen haben:

• an solch einer Blüte wird etwas später beim Fußball ungemein Wichtiges deutlich:

weil mit Fünfecken

(anders als mit Sechsecken)

keine flächendeckende "Parkettierung" möglich ist, sondern Lücken bleiben

,

kommt man mit ihnen, wenn man dann die Lücken "aneinander klebt"

,

überhaupt erst aus der (zweidimensionalen) Ebene heraus und entsteht somit überhaupt erst ein (dreidimensionaler) Körper!

(Wieder: im Gegensatz zu Sechsecken, die offensichtlich besser z.B. für

•   ,
• die Pflasterung von Nachbars Garageneinfahrt:

geeignet, weil "platzsparend" sind; vgl. auch   "Parkettierung mit Vielecken" und  "Keplersche Vermutung")

Allemal interessant finde ich auch die Möglichkeit, die Lücken nicht wegzuschneiden oder als Klebefalze zu benutzen, sondern nur nach hinten zu knicken, womit sich folgende "Blüte" ergibt:

(Vgl. in der sechseckigen Version

,

wo dieses Knickverfahren nur für die untere Schachtelhälfte angewandt wird und dort offensichlich dazu dient, dass sie sich automatisch "blütenartig" öffnet; überhaupt ist die Verpackungstechnik eine schöne Anwendung unserer Basteleien.)

Bemerkenswert an der "Blüte" scheint mir vor allem, dass da ein ästhetisches Kriterium Ordnungsprinzip ist; das Prinzip der Fünfblättrigkeit, das sehr häufig in der Natur vorkommt

(wobei zu fragen wäre, warum):

(aus )

Intermezzo:

Bevor wir aber zum Fußball kommen, sei noch an einem anderen Beispiel auf die angedeutete Systematik eingegangen: die SchülerInnen sollen solch eine Minipyramide bauen:

,

und zwar wieder aus einem einzigen, zusammenhängenden Blatt Papier

(eine Aufgabe, die ich mir mal selbst als ca. Zehnjähriger gestellt habe).

Einige machen das "mit links", andere haben da bereits ihre lieben Schwierigkeiten, aber alle kriegen's dann irgendwie doch hin. "Irgendwie", d.h. zwar richtig, aber doch mehr durch Probieren als systematisch.

Wenn man sie dann aber bittet, eine dritte Stufe drunter zu bauen, also

,

und all das wieder aus einem einzigen, zusammenhängenden Blatt Papier, hakt's doch bei den allermeisten und wird's Zeit, eine systematische Herangehensweise zu entwickeln, und zwar insbesondere, wenn das Ziel eine "vollständige" Stufenpyramide ist:

Eine mögliche Systematik besteht nun aber darin, die Pyramide von oben nach unten "abzuarbeiten". Und dazu fangen wir nochmals von vorne, also mit bzw. an:

→ → →

Und wenn man das erst mal begriffen hat, kann's

(im Folgenden nur an einer Seite ausgeführt)

so weitergehen:

Das muss man gar nicht mehr bis zur zehnten Stufe

(und gar für alle Seiten, also so )

ausführen

(aufzeichnen oder gar basteln),

sondern es reicht, nach spätestens drei oder vier Stufen das System herausgefunden zu haben und somit zu wissen, dass es endlos so weiter gehen kann

(also sehr viel weiter als nur  lächerliche zehn Stufen!).

Wenn ich aber das Ergebnis

sehe, fällt mir noch ein anderes und vielleicht sogar einfacher-anschaulicheres System ein, nämlich