der Inbegriff der Mathematik:

Was an soll denn regelrecht der Inbegriff der Mathematik bzw. Mathematik in nuce sein?

Laut Wikipedia-Artikel ist doch wohl eher zweierlei bemerkenswert:

1. , dass es "zu verschiedensten [...] Physikübungen animiert",

2. dass sich "Slinky" "ähnlich wie ein Lebewesen" verhält.

Zu 1.:

im weiteren Verlauf des oben bereits anzitierten Wikipedia-Artikel wird bereits ein physikalisches Experiment genannt, um eine (wenn auch sehr spezielle) Funktionsweise von "Slinky" zu verstehen:

"Beobachtungen mit Hilfe einer Hochgeschwindigkeitskamera zeigen, dass sich gedehnte Slinkys beim Fallen folgendermaßen verhalten: Sobald die Verbindung des Endes zu der Halterung unterbrochen wird, setzt sich die oberste Windung in Bewegung. Wenn sie die nächst untere Windung trifft, fallen sie zusammen in einem "Block", der sich laufend vergrößert. Währenddessen bleibt derjenige Teil des Slinkys, welcher noch nicht vom "Block" erfasst wurde, bewegungslos in der Luft. Diese Tatsache erklärt sich dadurch, dass sich das untere Ende des Blocks mit einer Geschwindigkeit, die größer als die Wellengeschwindigkeit im Slinky ist, bewegt. Sind alle Windungen vom Block erfasst, fällt das Slinky geschlossen zum Boden [...]."
(vgl. , wo nebenbei auch schon interessante und anspruchsvolle mathematische Aspekte deutlich werden)

Ebenso ist "Slinky" ein interessantes Mittel, um in der Physik [Longitudinal- und Transversal]Wellen zu veranschaulichen.

(Vgl. etwa , und )

Aber Letzteres ist eher ein (physikalisches) Abfallprodukt, das nicht die primäre Faszination erklärt, die - so unterstelle ich mal - für jeden von "Slinky" ausgeht:

Zu 2., dass sich also "Slinky" "ähnlich wie ein Lebewesen" verhält:

in der Tat scheint es ein Eigenleben zu haben, wenn es nicht von Hand zu Hand , sondern - allerdings nach einem ersten Anstoß von Menschenhand - "von selbst" (weiter-)läuft:

Dabei kommt der Eindruck der Lebendigkeit vermutlich vor allem durch die - arg allgemein gesagt - "harmonischen", gleitenden Bewegungen zustande - und kein Wunder, dass eben auch Slink oder Slinkydog teilweise aus einem "Slinky" besteht. Ja, es gibt inzwischen sogar - sozusagen in doppelter Spiegelung - die Imitation eines "Slinkys" durch Menschen:

Wichtig ist:  jeder, dem man es in die Hand drückt, versucht doch umgehend verschiedene Bewegungen aus.

Insbesondere interessant ist die Erklärung für

  und .

Ich versuche hier mal solch eine (erste) Erklärung, indem ich zwar auf meinem rudimentären Vorwissen aufbaue, aber mir bewusst keine Zusatzinfomationen anlese: der "Slinky" bewegt sich im Prinzip genauso wie eine geworfene Kugel, also

(wobei hier in der Animation allerdings die Geschwindigkeiten nicht stimmen, denn wenn die Kugel noch ziemlich weit unten ist, steigt sie noch sehr schnell, mit zunehmender Höhe wird sie hingegen langsamer, um nach dem Maximum wieder - jetzt allerdings nach unten - zu beschleunigen).

D.h., auch für den "Slinky" gilt:

1. bewegt er sich auf einer Wurfparabel,

2. wird er beim Aufprall auf den Untergrund wie ein Lichtstrahl oder eine Billardkugel "gespiegelt", d.h.

Einfalls- = Ausfalls- bzw. Reflexionswinkel:

,

Die Bewegung des "Slinkys" - oder genauer: einiger weniger, farblich unterschiedener "Etagen" - sieht also etwa folgendermaßen aus:

Dabei ergibt sich allerdings ein interessantes Problem:

• wenn etwa die violette "Etage" auf dem Stapel in der Mitte gelandet ist und danach noch von der grünen "Etage" bedeckt wird;

• wenn also die violette "Etage" einige Zeit still gelegen hat;

• woher "weiß" sie dann, dass sie vorher von links kam und

(wegen Einfalls- = Ausfallswinkel)

hinterher nach rechts weiterfliegen muss?

• Hat sie - für die Zeit des Stillstands - ein Gedächtnis? Ist das "Slinky" also auch derart "ähnlich wie ein Lebewesen"?

Ich erkläre mir das eher so: die grüne "Etage" knallt von links feste auf dem Stapel auf, fliegt

(wieder wegen Einfalls- = Ausfallswinkel)

umgehend nach rechts und reißt dabei auch die violette "Etage" nach rechts:

Aber ich bin mir gar nicht so sicher, ob diese Erklärung stimmt. Denn wenn ich mir genauer ansehe, scheint mir, dass die obersten Etagen gar nicht vollständigen auf dem Stapel in der Mitte landen, sondern von den unteren nach rechts geschleudert werden.

Aber vielleicht sind ja sogar beide Erklärungen richtig: die oberen beeinflussen die  unteren und die unteren die oberen, d.h. es liegt eine Wechselwirkung vor - und der "Slinky" verhält sich wie ein großer Zellverband.

Könnte es gar sein, dass sich der "Slinky" wie ein Grashalm bewegt, der nach links verbogen wurde und dann nach rechts zurückschnellt?:

(Nichts ist nichtig genug: mich reizt ja sowieso noch immer die Physik des Grashalms; vgl. auch )

Aber sogar der statische "Slinky" ist interessant, wenn man etwa

• eine Schräg-Verschiebung vornimmt

( Prinzip von Cavalieri)

• oder die Spirale schlichtweg durchhängen lässt

(Parabelform oder Kettenlinie?).

Die mathematischen Fachbegriffe

("Einfalls- = Ausfallswinkel", "Prinzip von Cavalieri", "Parabelform oder Kettenlinie?")

zeigen schon, dass der "Slinky" einige grundsätzlich wichtige mathematische Denkweisen "enthält", und selbst der Laie "spürt" sie, wenn er auch nicht die mathematischen Prinzipien kennt

(aber entdecken könnte?).

Die speziellen Eigenschaften des "Slinkys" beruhen darauf, dass es immer denselben Radius hat und sich deshalb dreidimensional in "Etagen" auftürmt.

Das macht die mathematische Beschreibung des "Slinkys" sehr einfach:

• der erste Zuordnungsteil beschreibt eine andauernde zweidimensionale Kreisbewegung,

• der zweite die Erhöhung um jeweils eine "Etage" pro Umlauf.

Andere Spiralen sind da mathematisch erheblich komplizierter - nämlich z.B. die sogenannte "logarithmische Spirale":

(bzgl. der diese Spirale erzeugenden/beschreibenden Zuordnungen siehe   )

Wichtig ist hier vor allem, dass all diese Spiralen häufig in der Natur vorkommen (vgl. ebenfalls  ) und ganz offensichtlich eine enorme Faszination auf Menschen ausüben.

Und jetzt der "Beweis", dass tatsächlich der Inbegriff der Mathematik bzw. Mathematik in nuce ist:

Zum Inhalt des Films:

• "Der ebenso intelligente wie unruhige Mathematiker Max steht vor der Entdeckung seines Lebens - der Entschlüsselung eines numerischen Systems, hinter dem sich das Geheimnis der Weltordnung verbirgt. Kein Wunder also, daß Max sowohl von einer skrupellosen Wall-Street-Firma, die das Finanzwesen beherrschen will, als auch von einer jüdischen Sekte, die die Rätsel um die Kabbalah lüften möchte, verfolgt wird. Als es ihm schließlich gelingt, den Code zu knacken, macht Max eine Entdeckung, für die alle bereit sind, ihn zu töten..."

• "Was uns Durchschnittsmenschen ernüchtert, die Kreiszahl Pi und deren endloser Zahlenschwanz hinter dem Komma, stimuliert die Hauptfigur dieses klaustrophobischen Erstlings von Darren Aronofsky, der hierfür auf dem Sundance Film Festival 1998 mit dem Regiepreis in der Sparte Drama ausgezeichnet wurde. Schräg wie die Ausgangsidee gibt sich der ganze Sci-Fi-Thriller, auf den man sich einlassen muß, will man daran Gefallen finden. Glückt einem das Eintauchen in diesen Schwarz-weiß-Alptraum, wird man auf höchstem Niveau unterhalten, glückt es nicht, versperrt sich einem der Film wie höhere Mathematik."
  (zitiert nach  ; rote Markierung von mir, H.St.)

Also allerlei krudes Zeugs sogar inkl. modischem Computervirus, und tatsächlich kommt auch ein bisschen "echte" Mathematik vor (vgl. ).

Schon ein bisschen "mathematischer" ist die Denkweise des Filmhelden:

"Aus Max Cohens Notizen: Hypothese

1. Mathematik ist die Sprache der Natur.
2. Alles um uns herum lässt sich durch Zahlen wiedergeben und verstehen.
3. Stellt man die Zahlen eines beliebigen Systems graphisch dar, entstehen Muster.
4. Folgerung: Überall in der Natur existieren Muster."

(ebenfalls zitiert nach  )

Ansonsten bleibt die Mathematik aber arg dürftig, und der Held Max Cohen ist nur

(wie auch )

ein weiteres Beispiel für das Klischee, dass gerade bei Mathematikern Wahnsinn & Genie allzu gerne Hand in Hand gehen

(wobei Filmen natürlich künstlerische Freiheiten zuzugestehen sind, also auch die Freiheit, Mathematik nur anzuzitieren).

Insbesondere sollen uns hier aber die zwei letzten Hypothesen Cohens interessieren:

3. Stellt man die Zahlen eines beliebigen Systems graphisch dar, entstehen Muster.
4. Folgerung: Überall in der Natur existieren Muster."

Und diese Muster haben eben oftmals Spiralenform, wie auch die zum Film gehörige Internetseite ausbreitet:

"My new Hypothesis: If we're built from Spirals while living in a giant Spiral, then is it possible that everything we put our hands to is infused with the Spiral?"

-- Max Cohen

The Golden Spiral is a mystical shape that is an absolute in both abstract mathematics and chaotic nature. It was first discovered by Phythagoras, a failed Greek messiah and mathematical cult leader in the 5th century B.C.

The spiral is derived via the golden rectangle, a unique rectangle which has the golden ratio. When squared, it leaves a smaller rectangle behind, which has the same golden ratio as the previous rectangle. The squaring can continue indefinitely with the same result. No other rectangle has this trait.

When you connect a curve through the corners of these concentric rectangles, you have formed the golden spiral. The Phythagoreans loved this shape for they found it everywhere in nature: the Nautilus Shell, Ram's horns, milk in coffee, the face of a Sunflower, your fingerprints, our DNA, and the shape of the Milky Way.

Und das griffigste Symbol für all diese Spiralen ist eben .

Der "Slinky" scheint mir zudem den Vorteil zu haben, dass er "metaphorisch" ist: die Erkenntnis kreist und kreist, bewegt sich aber auch immer höher.

Aber der ist ja nur ein Beispiel für anschaulich-handgreifliche mathematische Grundmuster

(vgl. ).

PS:	Der richtige "Slinky" ist natürlich aus Metall und nicht aus popeligem Plastik  (wenn es auch hochinteressant ist, wie die kontinuierlichen Farbübergänge dieses Plastik-"Slinkys" erzeugt wurden). Und der beste "Slinky" ist allemal noch immer das Original:
PPS:	das Buch zur Spirale:
PPPS:
PPPPS:	Der Inbegriff der Mathematik darf auch so aussehen: (elastischer Springball aus ineinander verflochtenen Fünfecken) Vgl. auch (Spektrum der Wissenschaften, 10/2007; siehe unter auch die interessanten weiterführenden Links sowie in Suchmaschinen unter dem Begriff "burr puzzles").
PPPPPS:	eines des Standard-Schulbücher zeigt auf seinem Cover, wie schön Mathematik sein kann: Aber keine Angst: im gesamten Buch kommen keine Spiralen und Strudel vor ... wie ja auch in dem Buch keine spiralförmigen Schnecken und Achterbahnen vorkommen.            (Ein Schelm, wer sowas für Etikettenschwindel hält.)
PPPPPPS: