) eine sanfte Übertreibung, den Beweis der Irrationalität als "den schönsten aller Zeiten" zu bezeichnen:der schönste Beweis aller Zeiten
4. Der Beweis der Irrationalität
A) Warum dieser Beweis?
Natürlich ist es (in Analogie zu ) eine sanfte Übertreibung, den Beweis der Irrationalität als "den schönsten aller Zeiten" zu bezeichnen:
(und außerdem tut man damit so einigen anderen Beweisen und ihren Entdeckern unrecht)
er ist überhaupt nicht optisch (a.);
gerade weil er doch wohl einen "genialen Kick" (e.) enthält, ist er nicht gerade ein Musterbeispiel "freundschaftlicher Suggestivität" (d.).
Aber genau das ist einer der Gründe, weshalb ich ihn ausgewählt habe: es ist nicht gerade ein einfacher und überschaubarer (b.) Beweis - und gerade deshalb geeignet, sich gewissen unterrichtlichen Schwierigkeiten (vgl. das Vorwort) zu stellen, statt sie - mittels eingängigerer Themen - elegant zu umgehen.
Ja, meine zentrale Frage wird im folgenden sein, ob sich nicht auch solch ein Beweis halbwegs "freundschaftlich suggestiv" machen lässt.
Allemal aber entspricht der Beweis den Kriterien "genialer Kick" (e.) und "mathematischer Fortschritt": ich habe ihn auch ausgewählt,
weil an ihm die Schwierigkeiten des "genialen Kicks" auftauchen (Schopenhauer);
sich gerade deshalb die entscheidende Frage stellt, inwieweit solch ein Beweis nur Schritt für Schritt wiedergekäut (aber niemals überschaubar; vgl. b.) werden kann - oder ob da nicht doch in "freundschaftlicher Suggestivität" eine Art von "Selbstentdecken" erzeugt werden kann.
Der Beweis ist ein Musterbeispiel dafür, dass man (egal, ob SchülerInnen oder LehrerInnen) wohl niemals vollständig selbst (also ohne jede äußere Hilfe) drauf kommen würde:
entweder haben da viele Generationen dran rumgemurkst, bis endlich - eher zufällig? - der entscheidende Groschen gefallen ist;
oder aber er ist die einmalige, nicht nachholbare und letztlich nie einsehbare geniale Handlung eines Einzelnen.
Vollständiges "Selbst(nach)entdecken" ist hier also undenkbar!
(s. hier auch "Exkurs ' Selbstlernen ' ")
Zum "genialen Kick". Er besteht
einerseits in der souverän-dummen Feststellung der Teilbarkeit (s.u.); vielleicht kann man die Angst davor gerade dadurch abbauen, dass man auf die "Dummheit" eingeht
(die keinem Laien/keinem Schüler fremd sein dürfte, aber als Voraussetzung von Genialität zu vermitteln wäre);
Gerade um diesen "genialen Kick" der Teilbarkeit, also auch die zentrale Schwierigkeit des gesamten Beweises, möchte ich mich im folgenden nicht drücken ("jetzt ist Schluss mit lustig bzw. Selbstlernen, das ist nunmal so, friss oder stirb"). Im Gegenteil: genau da hat auch das Zentrum der pädagogischen Überlegungen zu liegen!
in der trickreichen Beweisart (indirekter Beweis).
Schon allein in letzterem Sinne entspricht der Beweis o.g. Punkt g., d.h. er hat (und zwar ganz erheblichen) mathematischen Fortschritt erbracht (ein ganz neues, übertragbares Beweisverfahren).
Zudem hat er (auch wieder im Sinne von g.) ganz neue (eben die irrationalen) Zahlen "erzeugt".
Des weiteren hat er (nochmals im Sinne von g.) als einer der ersten Beweise überhaupt erst die zentrale mathematische Idee der Beweisbarkeit, damit aber auchBeweisnotwendigkeit in die Welt gebracht! Und wenn Beweisen nun mal die vielleicht zentralste Idee , ja, der heilige Gral der Mathematik ist, dann kann anhand dieses Beweises tatsächlich "Mathematik in nuce" klar werden, also das, was Mathematik überhaupt ist bzw. ausmacht.
Vielleicht am wichtigsten aber, weil weit über die Mathematik hinaus greifend: der Beweis der Irrationalität ist ein erstes schönes Beispiel für Ideologiezertrümmerung.
Letztlich ist es aber fast reiner Zufall, dass ich hier den Irrationalitätsbeweis wähle: ich unterrichte halt derzeit Mathematik nur in einer 9. Klasse, wo er traditionsgemäß ansteht. "Fast" reiner Zufall, weil nach der Langeweile von Rechnen und Umformungen in der 9. Klasse - und zwar u.a. eben mit dem Irrationalitätsbeweis - zum ersten Mal interessante, "eigentliche" Mathematik ansteht.
Weil aber der Beweis der Irrationalität so fundamental ist, scheinen mir Überlegungen, die an ihm angestellt wurden, problemlos auch auf Oberstufenprobleme übertragbar zu sein.
Denn mir scheint ja doch: der Schulstoff im Fach Mathematik sollte massiv auf die eigentlich wichtigen mathematischen Gedanken hin reduziert, diese sollten dafür aber viel umfassender behandelt werden. Und einer dieser (vier oder fünf) zentralen Gedanken ist allemal die Irrationalität. Bzw. umgekehrt lassen sich viele dieser zentralen Gedanken besonders schön und exemplarisch anhand des Irrationalitätsbeweises entwickeln.
