ein Hoch auf Lernstandserhebungen und zentrale Abschlussprüfungen!

... und das nicht mal ironisch!

... und das aus meinem Munde! - wo ich doch ansonsten nicht gerade mit "Meinung" zu

gespart habe?

Bin ich also zuguterletzt doch noch bekehrt worden? Steht gar zu befürchten, dass ich vom fanatischen Saulus zum gleichermaßen fanatischen (nunmehr aber systemkonform-heiligen) Paulus werde?

Nun,

1. wird man ja wohl mal seine Meinung ändern dürfen,
2. tue ich das aber dennoch nicht.

Meine oben genannte Kritik

(siehe in den oben genannten Aufsätzen)

bleibt rundum bestehen, ich bin und bleibe also grundsätzlich gegen all die modischen PISA-Folgen und halte sie für gefährlich:

"Im Zuge von PISA hat sich in Deutschland eine Praxis zentraler Leistungserhebungen bisher ungekannten Ausmaßes entwickelt. Maßgebliche Bildungspolitiker glauben, dass regelmäßige zentrale Erhebungen ein wesentliches Mittel zur Verbesserung der Qualität des Unterrichts sind. Dieser Glaube ist in keiner Beziehung gerechtfertigt."
(aus der Ankündigung eines Vortrags von Prof. Dr. Hans-Dieter Sill, Universität Rostock)

(Nebenbei: die SchülerInnen haben einen Heidenrespekt vor den neuen zentralen Prüfungen, weil diese

• so archaisch sind: keiner weiß, wie "der Hammer Gottes" aussehen wird;
• so scheinbar objektiv sind: wenn man diese Prüfungen besteht, ist man sozusagen "staatlich anerkannt".

Und LehrerInnen müssen nichts mehr rechtfertigen.)

Was mir allerdings sehr wohl gefällt, ist die

(zweifelsohne durch PISA inspirierte)

Aufgabenart in den neuen Lernstandserhebungen sowie in den zentralen Abschlussprüfungen der Klasse 10 in NRW - aber auch nur im Fach Mathematik (und selbst dort nicht das Zentralabitur).

(Im Fach Deutsch verbietet sich sowieso jede zentrale Prüfung, denn die ist im Hinblick auf Literatur [!] schlichtweg unangemessen).

Wohlgemerkt: nur die Aufgabenart, aber nicht

1. die irrwitzige Fülle an Aufgaben

(wieder mal ):

mit zehn kleinen Aufgaben

(und - horribile dictu - Zeit zum DENKEN!)

kann man genauso gut rausbekommen, ob jemand (einE SchülerIn

) "was" kann.

2. das

(wenn auch sehr einfach korrigierbare; vgl. )

Multiple-Choice-Punktesystem, das keinen Platz für intelligente Seitenwege und "fast richtig" lässt

(oftmals werden ja nur eindeutige, anzukreuzende Antworten erwartet, und wenn die falsch sind, kann man mangels protokollierten Denkwegs nicht beurteilen, ob nur ein Rechen- oder ein echter Denkfehler bzw. komplette Unkenntnis vorliegt).

Immerhin hat "man" ja neuerdings dazugelernt, fordert also öfters Beschreibungen, Erläuterungen und auch mal Rechnungen, die aber eben doch wieder in ein allzu starres Punkteraster gepackt werden.

Das Multiple-Choice-Punktesystem - das sei frischweg eingestanden - hat aber auch einen Vorteil, lässt nämlich intelligent-schnelle Antworten zu

(was unten genauer erläutert wird).

Zumindest auf den ersten Blick widerspricht sich meine Argumentation hier aber: die intelligenten Lösungen (vgl. 2.) werden ja gerade deswegen nötig, weil man bei so vielen Aufgaben in so wenig Zeit (vgl. 1.) gar nicht alle Aufgaben "konventionell" lösen kann.

Aber die intelligenten Lösungen sind doch schon allein wegen des "mathematischen Faulheitsprinzips" erstrebenswert und rechtfertigen deshalb noch lange nicht den Zeitdruck.

3. wäre es trotz allem schlimm, wenn nur noch solch eine Mathematik wie in den neumodischen einschlägigen Prüfungen "gefahren" würde. Beispielsweise sind und bleiben mathematische Beweise Kern der (auch Schul-)Mathematik, aber gerade diese kommen ja (aus guten Gründen) in den zentralen Prüfungen gar nicht mehr vor.

Anders gesagt: man wird als LehrerIn die SchülerInnen im vorausgehenden Unterricht und auch schon in nicht-zentralen Klassenarbeiten auf die neuartigen Prüfungen vorbereiten müssen

(es geht also nicht an, komplett beim konventionellen Unterricht und konventionellen Klausuren zu bleiben - so dass die SchülerInnen die neue Prüfungsart zum ersten Mal in den neuartigen Prüfungen sehen - und dann vermutlich reihenweise versagen).

Aber das kann und darf nicht heißen, dass nun der Unterricht ins andere Extrem verfällt, also komplett auf die neue "Aufgabenkultur" umgestellt wird.

Insbesondere möchte ich (bei aller auch nötigen Anwendungsorientierung) doch unbedingt auch auf einem "innermathematischen" Anteil bestehen.

All das kann aber nur heißen:

• einerseits muss auf die zentralen Prüfungen und deren neue Denkart vorbereitet werden,
• andererseits muss es auch den "klassischen" Unterricht geben,

was zusammen doch nur heißen kann, dass radikale Stoffbegrenzung betrieben und Freiräume gewährt werden müssen

(ich hab's schon tausendmal gesagt und wiederhole es dennoch: "weniger ist mehr", d.h. der "wenigere" Stoff wird gründlicher durchpflügt, und an ihm werden grundsätzliche besser herausgearbeitet).

Zwar sind die Kernlehrpläne und Bildungsstandards noch immer viel zu voll gepackt

(vgl. ),

aber "man" hat ja dennoch ein wenig dazugelernt, wenn beispielsweise nicht mehr alle

(im Zeitalter des Taschenrechners sowieso überflüssigen)

Logarithmengesetze eingefordert werden

(was ja nicht heißen muss, dass man nun die Logarithmen "verschlampt", sondern ebenso gut bedeuten kann, dass man Teile von ihnen - und damit die "Logarithmen-Idee" - viel genauer durchnimmt;

schon gar nicht reagiert man angemessen auf die nunmal beschlossene Schulzeitverkürzung: da wird derselbe Stoff in weniger Zeit [noch vollerem Stundenplan] "reingepaukt", also auch hier wieder   ).

Ich hatte schon darauf hingewiesen, dass die "neuen" Aufgabenart offensichtlich PISA-inspiriert ist. Da bleibt zu ergänzen:

1. halte ich wenig von PISA

(seiner Notwendigkeit und Aussagekraft),

wohl aber einiges von der PISA-Aufgabenart;

2. ist das zwar eine interessante, aber auch nicht die einzig wahre Aufgabenart.

(Man könnte es auch so sagen: dass die deutschen SchülerInnen bei den ihnen völlig ungewohnten PISA-Aufgaben "versagt" haben, konnte ja niemanden wundern. Wie aber wäre das Ergebnis ausgefallen, wenn typisch "deutsche" [ja nicht rundweg schlechte] Aufgaben gestellt worden wären?)

Keiner weiß genau, wie die "echte" erste zentrale Abschlussprüfung nach der 10. Klasse in NRW aussehen wird, und ich möchte auch nicht den Tag vor dem Abend loben:

1. Wird da wieder mal viel zu viel in allzu kurzer Zeit gefordert?
2. Sind "intelligente Seitenwege" besser bepunktbar?
3. Habe ich "meine" SchülerInnen gut genug vorbereitet?

(Da habe ich - wenn auch in Grenzen - durchaus Angst, denn schließlich geht es um "meine" mir anvertrauten SchülerInnen und bin ich dafür verantwortlich, dass sie reelle Chancen haben.)

2. Werden "meine" SchülerInnen "gut" daraus hervorgehen, indem sie also zumindest halbwegs ihre Vorzensuren treffen - oder sogar noch besser werden?
3. Ist das, was man bisher weiß, überhaupt repräsentativ, d.h. wird die zentrale Prüfung ähnlich aussehen?

"was man bisher weiß", ist zweierlei (und bitter wenig):

1. eine einzige (!) offizielle und allgemein zugängliche Musterklausur

(vgl. sowie die zugehörige Auswertung  ),

2. das, was sich die Schulbuchverlage

(die sich an den zentralen Prüfungen inkl. Zentralabitur derart dumm und dämlich verdienen, dass man meinen könnte, diese Prüfungen seien überhaupt erst ihre Marketingstrategie gewesen)

als vermutlich "sinngemäß" zusammenphantasieren, also z.B.

 

Auf beide Quellen(sorten) möchte ich im Folgenden an Einzelbeispielen Bezug nehmen, um mein insgesamt doch positives Urteil zu begründen.

1. In "klassischen" Klassenarbeiten kommt - abgesehen von Grundverfahren wie beispielsweise Termumformungen - nur der Stoff "dran", der gerade Thema war. Also folgt beispielsweise nach einer Unterrichtseinheit über Exponentialfunktionen eine Klausur zu eben diesem Thema, in der nächsten Klausur aber das Thema "trigonometrische Funktionen", aber nichts mehr zu Exponentialfunktionen. Dementsprechend können die SchülerInnen dann in der Klausur zu Exponentialfunktionen (mehr oder weniger) diese - und vergessen sie dann verlässlich wieder (so dass man, wenn man in der Oberstufe doch wieder zu Exponentialfunktionen kommt) wieder bei Adam & Eva anfangen muss.

Da finde ich es durchaus gut, dass in den neuen zentralen Prüfungen viele, auch "uralte" mathematische Themen "drankommen", und zwar oftmals so, dass durch weder durch die Aufgabenstellung noch durch (wie sonst üblich) durch den direkten Unterrichtskontext eindeutig klar ist, welches "Verfahren" gerade benötigt wird.

Ein Beispiel: in dem o.g. Westermann-Heft folgt auf eine Kombinatorikaufgabe eine (nicht direkt als solche erkennbare) Pythagorasaufgabe und auf diese wiederum eine Prozentrechnungsaufgabe

(man könnte das als Willkür, ja sogar als Schikane ansehen, aber es fordert doch eben auch Flexibilität).

Kommt hinzu, dass die Aufgaben nicht in die Feinheiten gehen, sondern grundsätzliches Verständnis

(mit sehr einfachen Rechnungen)

abprüfen, statt dass man sich beispielsweise in endlosen Termumformungen verheddert

(wohlgemerkt: Grundverfahren der Termumformung bleiben natürlich wichtig!).

Als Beispiel sei da die soeben schon genannte Pythagorasaufgabe genannt:

"Ein Fußballspieler schießt vom 11-Meter-Punkt in die linke untere Ecke des Tors [wobei die Breite des Tors mit angegeben ist]. Wie lang ist die Strecke vom 11-Meter-Punkt bis zu dieser Torecke?"

Wohlgemerkt: da steht nicht dabei, dass der "Pythagoras" anzuwenden ist

(und die Aufgabe vorher legt das auch nicht nahe).

Nun ist diese Aufgabe zwar keine "Anwendungsaufgabe", denn es ist in der Praxis völlig unerheblich, wie weit der Ball da fliegt. Aber es ist eine schöne "Veranschaulichungsaufgabe"

(vgl. "Anschauung statt Anwendung"),

denn erst das konkrete Fußballbeispiel gibt den entscheidenden Tipp, ohne ihn allerdings sozusagen offiziell zu verraten:

der Torwart steht bei einem "11-Meter" immer in der Mitte des Tors, und damit ist die entscheidende Hilfslinie

(Verbindung "Schießender"/Torwart)

angedeutet, die man braucht, um den "Pythagoras" überhaupt zu erkennen und dann anzuwenden.

Diese "Pythagoras-Anwendung" ist dann aber sehr einfach, es werden also nicht Feinheiten der "Satzgruppe des Pythagoras" gefordert.

(Nebenbei: und wenn man partout nicht auf den "Pythagoras" kommt, aber nicht der Rechenweg, sondern nur das Ergebnis gefragt ist, zeichnet man sich halt eine Planskizze und liest den entsprechenden Wert ab. Das ist zwar unmathematisch - aber intelligent!

Und eine nette dreidimensionale Erweiterung der Aufgabe ist, dass der Fußballspieler in die linke obere Torecke trifft. Nett daran ist vor allem, dass sich jeder [?] das Fußballfeld aus der Vogelperspektive vorstellt und somit die nötige Hilfslinie [nämlich die aus der ursprünglichen Aufgabe] schon "sichtbar" ist und dann der "Pythagoras" nur noch ein zweites Mal angewandt werden muss.

Aber ich gestehe gerne, dass ich diese Hilfslinie "sehe"

[und das ist ein zentrales Problem im Matheunterricht: viele SchülerInnen aber nicht],

weil da auch ohne Fußballtor eine mir natürlich längst bekannte klassische Matheaufgabe

[vgl. die Diagonale eines Würfels]

vorliegt.)

2. Es kommt etwas vor, was im üblichen Unterricht

(bei aller allemal berechtigten Suche der MathematikerInnen nach absoluter Exaktheit)

viel zu selten auftaucht, nämlich Abschätzen bzw. "überschlagen", was auch heißt, dass abgeprüft wird, ob SchülerInnen treffend mit Größenordnungen umgehen können.

Ein Beispiel aus der offiziellen Aufgabenstellung (a.):

"Kreuze an, wie viele Minuten du ungefähr seit deiner Geburt gelebt hast.

 □ 80 000 000       □ 8 000 000      □ 800 000       □ 80 000      □ 8 000"

So banal es ist, hier wird durch die ewig gleiche 8 am Anfang schön vermittelt, dass es nicht um genaue Zahlen, sondern um Größenordnungen geht.

Natürlich kann einE SchülerIn

zur Lösung dieser Aufgabe auch einen Taschenrechner "anwerfen", und die Rechnung damit dauert auch nicht längere als die "intelligentere" im Folgenden:

• ich bin ca. 10 Jahre alt

(für Zehntklässler zu niedrig gegriffen, aber einfach [im Kopf!] zu rechnen),

• jedes Jahr hat 400 Tage

(jetzt als Ausgleich bewusst zu hoch gegriffen),

• ein Tag hat 20 Stunden

(wieder zu niedrig gegriffen),

• eine Stunde hat 100 Minuten

(wieder zu hoch gegriffen).

Insgesamt also 10 • 400 • 20 • 100 = 8 000 000 (die zweite Antwort war richtig).

(Nebenbei: eine 16jährigeR ZehntklässlerIn ist - ohne Berücksichtigung von Schaltjahren - an ihrem/seinem Geburtstag exakt 8 409 600 Minuten alt, d.h. die Überschlagsrechnung hat erstaunlich genau die Größenordnung getroffen.

Kommt hinzu, dass ja nicht alle geprüften ZehntklässlerInnen exakt 16 Jahre, sondern unterschiedlich alt, einige also noch 15 Jahre "und ein paar Gequetschte" alt sind, womit der Überschlagswert noch näher am realen liegt, vor allem aber klar ist, dass es bei der allen SchülerInneN gestellten Aufgabe eh nur um Überschlagswerte gehen kann.

Auch hier haben wir wieder das Problem Anwendung/Anschauung: natürlich ist die Aufgabe "anwendungstechnisch" uninteressant, denn wer will schon wissen, wie viele Minuten er alt ist? Aber die Anwendungssituation legt eben doch besonders anschaulich nahe, dass es nur um Überschlagswerte gehen kann.)

Nun ist die Anzahl der Minuten, die auch schon junge Menschen (SchülerInnen) bereits gelebt haben, derart astronomisch groß (und also auch erstaunlich), dass da wohl kaum etwas anderes als die o.g. längere (Überschlags-)Rechnung bleibt.

Aus einem gewissen, noch deutlich werdenden Grund vereinfache ich die Aufgabenstellung nun mal dahingehend, dass ich nicht nach den Minuten, sondern nach den Tagen frage:

"Kreuze an, wie viele Tage du ungefähr seit deiner Geburt gelebt hast.

 □ 60 000       □ 6 000      □ 600"

Hier empfiehlt sich noch ein ganz anderer, besonders wichtiger Lösungsweg:

• 600 ist noch wirklich vorstellbar - und kann nicht stimmen, denn das sind knapp zwei Jahre,
• also stimmt der etwa zehnfache Wert, d.h. 6 000.

An diesem einfacheren Beispiel wird noch viel besser deutlich, wie wichtig schnelles Abschätzen ist.

Ein weiteres Beispiel, diesmal aus dem o.g. Westermann-Heft:

"Setze ein: <, = oder >.

[...]  d) (12 + 67)² □ 12² + 67²  "

EinE MathematikerlehrerIn hört hier natürlich sofort den Hintersinn heraus, dass nämlich auf einen typischen Schülerfehler beim "1. Binomi" angespielt wird:

(a + b)² =  a²            + b² , und das ist eben falsch ( ≠ ), während

(a + b)² =  a² + 2ab + b²  , also mit dem "gemischten Glied" 2ab, korrekt ist.

Die intelligente und rasend schnelle Schülerantwort wäre also, dass in (12 + 67)² □ 12² + 67² auf der rechten Seite das "gemischte Glied" (2 •12 • 67) fehlt und diese Seite somit kleiner sein muss (ist).

Nun ist diese Antwort allerdings nur dann schneller, wenn man keinen Taschenrechner zur Verfügung hat

(das Quadrieren von 12, 67 und (12 + 67) = 79 per "Hand" würden SchülerInnen allerdings wohl gerne vermeiden wollen).

Und überhaupt ist ja die Anwendung von Binomis auf nackte Zahlen sowieso witzlos, sondern vielmehr erst interessant, wenn auch Variablen vorkommen.

Warum also hat man die Aufgabe nicht folgendermaßen gestellt: (a + b)² □  a² + b²? Weil an dieser Standardform jedeR SchülerIn

sowieso sofort den Binomi erkannt hätte? Nun, dann hätte man es ja auch
(α + x)² □  α² + x² nennen können. Aber dann eben hätte überhaupt nur noch der Binomi und keine Rechnung mehr geholfen, wäre also der Binomi kein Geschwindigkeitsvorteil gewesen.

Oder doch?:

• einige SchülerInnen hätten ihn links noch umständlich anwenden müssen,
• andere hätten sofort gesehen, dass rechts das "gemischte Glied" 2αxfehlt.

(Wohlgemerkt: wie öfters in der Mathematik, muss man da etwas Fehlendes "sehen".)

1. Zentral wichtig ist bei vielen Aufgaben das, worauf oben schon mehrfach mit "Anschauung statt Anwendung" angespielt wurde: SchülerInnen müssen verschärft - wie im Deutschunterricht - "in Vorleistung treten", nämlich eine "lebensweltliche Anschauung" mitbringen

(obwohl die meisten Zehntklässler noch nicht Motorrad fahren [dürfen] und wohl auch noch nie gefahren sind)

oder sich doch zumindest zur eigentlichen Aufgabenstellung ergänzen können

(und genau das ist auch und gerade im klassischen Matheunterricht oftmals das allergrößte Problem: ).

Dazu wieder ein Beispiel aus dem Westermann-Heft:

Auch das ist natürlich wieder keine echte Anwendungsaufgabe, denn wen interessiert schon beim Motorradfahren der Graph der Geschwindigkeit

(nichtmal die Polizei, die sich nur für punktuelle Geschwindigkeitsüberschreitungen interessiert)?

In Wahrheit geht es hier sogar um etwas Innermathematisches, nämlich eine "Einschätzung" von Funktions(graphen)verläufen

(und da - auch das finde ich gut - nicht um exakte mathematische, mittels einer Gleichung beschreibbare bzw. durch sie erzeugte Graphen, sondern um "grundsätzliche Verläufe").

Aber das Motorradbeispiel ist eben doch eine schöne Veranschaulichung, macht nämlich die Graphen lebendig bzw. beweglich (vgl. ).

Ein Problem ist allerdings, dass es noch viel zu wenige solche Aufgaben gibt - und viel zu wenige Schulbücher, die den Spagat schaffen, solche Aufgaben in einen "Kurs" einzubauen.

Aber ich will die "Schuld" bzw. Verantwortung nicht auf andere (Schulbuchverlage) abschieben

(wenn "man" auch die vielen tausend LehrerInnen arg allein lässt, indem man zwar neue Prüfungen vorgibt, aber keinerlei Hilfen für einen Unterricht, die zu diesen Prüfungen hinführen; nein, da müssen wieder alle Fachschaften an den Einzelschulen "implementieren", d.h. jeweils das Rad neu erfinden):

eben dieser Spagat ist die Herausforderung an jeden "neuen" Matheunterricht.