Mathematik heißt Abkürzen

Ein kleines Problem dabei ist, dass man inzwischen zeigen kann, dass mehr Straßen (Abkürzungen) manchmal zu mehr Verkehr (Unverständnis, Fehlern) führen. Vgl.

Und überhaupt liegt - wie bei der Rennstrecke oben - der Reiz ja oftmals in den "Rundungen"

(sonst könnte man ja gleich zuhause bleiben):

• Jeder Motorradfahrer weiß, dass kurvige Landstraßen allemal schöner (wenn auch gefährlicher) als öde Autobahnpisten, also die phantasielose Diktatur des Lineals ist.

• Flussbegradigung und "Renaturierung".

• Slalom-Skifahren.

Dabei macht das "Wedeln" nicht nur Spaß, sondern auch Sinn, beugt nämlich der rasanten Schussfahrt abwärts vor, die zumindest nicht jedermanns Gesundheit zuträglich wäre.

Normalerweise ist Kürze tatsächlich ein wichtiges Kriterium in der Mathematik, und zwar geradezu ein Schönheits-, wenn nicht gar Wahrheitskriterium:

• Andrew Wiles´ zweifelsohne grandioser Beweis von

(vgl. )

hat ja eben doch so einige Schönheitsfehler: er ist für das zugrundeliegende, höchst einfache Ausgangsproblem

1. äußerst kompliziert geworden

(so kompliziert, dass nur noch wenige Fachleute ihn verstehen können),

2. mit 150 Seiten arg lang geraten

(immerhin hat ein anderer Mathematiker ihn ja schon kurz drauf erheblich kürzen können).

Man wird da den Verdacht nicht los, dass Fermat seinerzeit eben doch schon einen Beweis gehabt haben könnte, der zweifelsohne (ohne modernste Mathematik) viel einfacher und auch kürzer gewesen sein müsste.

• Der wahre Knaller ist aber zweifelsohne der Beweis des "Vier-Farben-Satzes":

1. , weil auch da wieder der Beweis eines sehr einfachen Ausgangsproblems so irrwitzig kompliziert geraten ist,

2. , weil der Beweis nur mit einem ellenlangen Computerprogramm und dann auch noch ewig langen Computerrechnungen möglich war:

"Der Vier-Farben-Satz war das erste große mathematische Problem, das mit Hilfe von Computern gelöst wurde. Deshalb wurde der Beweis von einigen Mathematikern nicht anerkannt, da er nicht direkt durch einen Menschen nachvollzogen werden kann. Schließlich muss man sich auf die Korrektheit des Compilers und der Hardware verlassen."
(zitiert nach )

Mit diesem Beweis wurde also gründlich das bis dahin vorliegende Verständnis davon, was überhaupt ein Beweis ist

(nämlich ein Gedankengang, den ein Mensch [!] wenn schon nicht in toto überblicken, so doch Schritt für Schritt nachvollziehen kann),

wenn nicht gar in einer neuartigen "Kränkung" die Fähigkeit "des" Menschen überhaupt in Frage gestellt

(weshalb so einige Leute bezweifeln, dass der "Vier-Farben-Satz" überhaupt bewiesen ist).

Wie ein Anonymus sagte:

"Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht - dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!"
(ebenfalls zitiert nach ; und nebenbei: Gedichte sind in der Regel relativ kurz)

Die beiden genannten Beweise zeigen aber allemal:

"so kurz wie möglich, so lang wie nötig [unvermeidbar]".

(Unbedingt angemerkt sei aber ein typischer mathematischer Effekt: dass oftmals etwas Einfaches rauskommt, wenn man schwierig anfängt - und umgekehrt.)

Überhaupt ist Kürze ja relativ:

• Eine Standardklage von SchülerInnen im Deutschunterricht ist, dass viele Sätze von SchriftstellerInneN zu lang seien

(und "zu lang" bedeutet dann oftmals "länger als zwei Zeilen").

Dabei besteht das Problem doch eigentlich oftmals nicht in der Länge, sondern darin, ob es den SchriftstellerInneN gelingt, Satzmelodien  zu erzeugen, d.h. durch die Sätze zu geleiten.

Denn viele Sätze, die SchülerInnen als "zu lang" und "schwierig" empfinden, hören sich für mich geradezu elegant-verspielt-fließend an:

• Wie oft habe ich mich im Mathematik-Studium doch darüber (bis zur Verzweiflung) aufgeregt, dass Rechnungen und Beweise in Mathe-Büchern derart abgenagt waren, dass sie - ohne für mich notwendige Zwischenschritte - schlicht unverständlich blieben

... während diese "Kurzprotokolle" für die Professoren zweifelsohne ausreichten, weil sie alle nötigen (mir fehlenden) Hintergründe problemlos assoziieren konnten.

Auch da zeigt sich schon: auch in der Mathematik ist der kürzeste nicht immer auch der (für jeden)  schnellste oder gar schönste Weg:

Ein schönes Beispiel, dass Umwege

• einerseits manchmal (leider!) unvermeidbar sind,

• andererseits aber einer gewissen Eleganz (oder gar einer gewissen Tolldreistigkeit) nicht entbehren,

ist der Beweis, dass eine irrationale Zahl ist - und dass es überhaupt diese höchst merkwürdigen irrationalen Zahlen gibt

(vgl.  ):

aufgrund der "Kränkung", dass noch keinem ein direkter (und sehr kurzer) Beweis gelungen ist, hat man einfach aus der Not eine Tugend gemacht, nämlich einfach mal angenommen

(bzw. es sich anfangs gar nicht anders vorstellen können),

dass eben nicht irrational, sondern eine gute alte Bekannte, also eine rationale Zahl und somit als ein Bruch aus zwei natürlichen Zahlen p und q darstellbar ist.

Eine sehr simple, aber dennoch geniale Zusatzvoraussetzung war, dass der Bruch "der Einfachheit [!] halber" schon vollständig gekürzt ist.

Und dann stochert man unter der (falschen) Voraussetzung, dass = ist, solange rum, bis man irgendwann bemerkt, dass der Bruch doch nicht gekürzt war.

Welch ein Entsetzen, aber auch - im zweiten Atemzug - welch eine Gaudi, dass da der Versuch = (dass also rational ist), zu solch einem herrlichen Einsturz der gesamten Argumentation führt!

(Ich könnte mir stundenlang "Hau-weg-den-Scheiß-", d.h. Sprengungsfilme anschauen
- und warte noch auf das entsprechend Video vom Potsdamer Platz in Berlin!)

Und dann kommt überhaupt erst die "geile" Explosion: muss also irrational sein:

Natürlich kann man sich fragen, warum MathematikerInnen überhaupt so irrwitzig lange Rechnungen machen (sie sich antun), dass sie irgendwann geradezu gezwungen sind, sie abzukürzen.

Ein erster Grund ist wohl, dass sich bei der mathematischen Erfassung der hochkomplexen und immens großen Welt nun mal unvermeidbar große Zahlen und lange Rechnungen ergeben.

Ein zweiter Grund ist aber wohl eine ganz grundsätzliche Faszination der MathematikerInnen für das unendlich Große (vgl. Projekt Unendlichkeit ) sowie für Verallgemeinerungen (vgl. ).

Im Folgenden nur drei sehr einfache, aber deshalb aber wohl auch besonders illustrative Beispiele für das Abkürzungsprinzip:

Zahlenschreibweisen

Leonardo Fibonacci (um 1170 bis ca. 1240),
vermutlich der erste Europäer, der die arabische Zahlenschreibweise benutzte
 

Die alltäglichste und deshalb vielleicht unmerklichste, weil (scheinbar) selbstverständlichste Abkürzung ist die Zahlenschreibweise, und zwar egal, ob die römische oder die arabische benutzt wird.

Ein erstes Beispiel ist das römische Zeichen M für 1000 (Dinge), und das ist eine enorme Abkürzung

• von z.B. 1000 Gegenständen (Strichen)

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• zu einem einzigen Buchstaben, nämlich M.

Oder die arabische (unsere heutige) Dezimal-Zahlenschreibweise

                                   4               2             0           5       , 8               9

ist eine enorme Abkürzung für

4 · 1000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 + 8 · ¹/₁₀  + 9 · ¹/100

(aus 36 Zeichen in 4 · 1000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 + 8 · ¹/₁₀  + 9 · ¹/100
werden ganze 7 Zeichen in 4205,89)

... und solch eine Verkürzung ist ja eigentlich eine hoch abstrakte Sache, deren Entdeckung mir absolut bewundernswert erscheint.

(Hier sieht man aber schon, dass Abkürzung in der Regel mit erhöhter Abstraktion erkauft wird.)

Noch erstaunlicher ist für mich aber, dass sowas eigentlich höchst Abstraktes uns heute absolut selbstverständlich ist

(derart selbstverständlich, dass LehrerInnen in der 5. Klasse größte Schwierigkeiten haben, diese Abstraktion wieder aufzubrechen und zu "problematisieren"; wobei ich mich frage, ob man das Selbstverständliche [zumindest in einer 5. Klasse] nicht doch besser ruhen lassen sollte).

Vielleicht ahnt man aber auch, welche Schwierigkeiten die Dezimalschreibweise früheren Menschen bereitet hat - und was für eine enorme Leistung dahinter steckt

(welche enorme Abstraktion da abverlangt wird),

wenn Kinder sie heute lernen (und GrundschullehrerInnen sie ihnen vermitteln!).

Potenzen

1. die Potenzrechnung ist eine verkürzte Multiplikation:

4 • 4 • 4 • 4 •4 = 4⁵       (d.h. aus neun Zeichen links wurden zwei Zeichen rechts)

2. die Multiplikation ist ihrerseits bereits eine verkürzte Addition:

4 + 4 + 4 + 4 = 4 • 4     (d.h. aus sieben Zeichen links wurden drei Zeichen rechts)

Aus beidem zusammen folgt:

4⁵ =

    = 4 •   4 • 4 • 4 •4 =

    = 4 • (4 • 4 • 4 •4) =

    =       (4 •   4 • 4 •4)  + (4 •   4 • 4 •4) + (4 •   4 • 4 •4) + (4 •   4 • 4 •4) =

    =       (4 • [4 • 4 •4]) + (4 • [4 • 4 •4]) + (4 • [4 • 4 •4]) + (4 • [4 • 4 •4]) =

    =      ([4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4]) +
        +  ([4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4]) +
        +  ([4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4]) +
        +  ([4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4] + [4 • 4 •4])

   =       ([4 • (4 •4)] + [4 •( 4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)]) +
        +  ([4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)]) +
        +  ([4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)]) +
        +  ([4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)] + [4 • (4 •4)])

   =       ([(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)]) +
        +  ([(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)]) +
        +  ([(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)]) +
        +  ([(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)] +
        +   [(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)+(4 •4)]) =

   =       ([(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)]) +
        +  ([(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)])+
        +  ([(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)]) +
        +  ([(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)] +
        +   [(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)+(4+4+4+4)]) =

    =     4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+
        + 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4

Oder, indem wir uns die Zwischenschritte sparen:

Weil also

1. die Potenzrechnung eine verkürzte Multiplikation und
2. die Multiplikation ihrerseits bereits eine verkürzte Addition ist,

ist insbesondere die Potenzrechnung eine massiv verkürzte Addition:

• aus 256 Zahlen plus 253 Pluszeichen, also insgesamt 509 Zeichen rechts
• werden in der Potenzrechnung ganze zwei Zeichen links.

Hier kann man aber auch exemplarisch die besonderen Vor- und Nachteile von Abkürzungen sehen:

1. Der erste Vorteil besteht nicht nur in der Kürze, sondern auch in der Eindeutigkeit: bei den zwei Zeichen links kann man sich schwerlich verschreiben, bei den 509 Zeichen rechts aber allemal:

wenn man rechts auch nur eine einzige 4 vergisst, ist alles falsch.

2. Mit den zwei Zeichen links kann man - als zweiter Vorteil - erheblich leichter hantieren als mit den 509 Zeichen rechts, und zwar merkwürdigerweise auch dann, wenn man gar nicht weiß, was 4⁵ ausgerechnet ist (nämlich 1024).

Z.B. ergibt sich mit den Potenzgesetzen 4⁵ : 4³ = 4^5-3 = 4²

(wobei die Rechnung staunenswerterweise auf eine simple Subtraktion ganzer Zahlen reduziert wird;
nebenbei: typisch für "richtige" MathematikerInnen ist ja auch, dass sie sich für die schnöden Zahlenwerte [hier 1024] gar nicht interessieren, sondern auch ohne deren Kenntnis frischweg jonglieren

[wen interessiert schon (wieder so eine herrliche Kurzschreibweise), dass ≈ 1,4142135623730950488016887242097 ist, zumal man sehr wohl herrlich mit rechnen kann (und zwar absolut exakt!), aber nicht im mindesten mit 1,4142135623730950488016887242097..., denn das geht - wie im o.g. Beweis gezeigt - in alle Ewigkeit und unperiodisch weiter]).

2. Ein zentraler Nachteil der Verkürzung ist, dass durch sie

(so zeigen die vielen Fehler von SchülerInnen bei der Potenzrechnung, nämlich z.B. 4⁵ = 4●5)

mit ihr oftmals das Grundverständnis für Potenzen wie auch für ihre Größenordnungen flöten geht

(dass sie - gerade wegen der Verkürzung von ursprünglich sehr Langem - ziemlich explosiv sind, nämlich z.B. das harmlose 4⁵ bereits 1024 ist).

Funktionen

(Für mich) zweifellos begann der Siegeszug der Mathematik

(auch und gerade im Hinblick auf Anwendungen)

mit den Funktionen und ihrer geometrischen Veranschaulichung

(vgl.

• 
• ):

dass da abstrakte Formeln gerade wegen ihrer Abstraktheit so vielfältig anwendbar wurden, also beispielsweise die quadratischen Funktionen sowohl bei der Flächenmessung als auch beim freien Fall usw. usf. bis in ungeahnte Ewigkeit.