("du machst ja Sachen!")

„Meine Freunde […] neckten mich - ich sei ein wandelnder Werkzeugkasten oder ein Schweizer Armeemesser. Nichts hätte mir mehr schmeicheln können, denn genau so fühlte ich mich.“

Meine mathematikdidaktische

Evolution

ist etwa folgendermaßen verlaufen:

• Zu Beginn meines Lehrerdaseins stand die "Bewegte Mathematik", also ein Bündel von ca. 80

(?, denn ich bin zu faul, nachträglich nachzuzählen)

Computerprogrammen, deren Grenzen mir allerdings schnell klar wurden

         (siehe ebenfalls ).

• Immer schon war bzw. mein Ideal: zumindest als Hilfe für Anfänger auf dem Weg zur abstrakten Routine, letztlich aber auch für gestandene Mathematiker

                      (eben wenn's über die Routine hinausgeht - und überhaupt noch vorstellbar ist). 

        Mir scheint, es gibt zwei Arten von Menschen und damit auch Mathematikern:

        Als Beispiele seien mangels mathematischer Masse berühmte Physiker genannt

• Schon seit über 20 Jahren, aber insbesondere in letzter Zeit pflege ich

:

bis auf wenige Ausnahmen, die nur mit Computerprogrammen, aber nicht mit mechanischen Modellen umsetzbar sind, finde ich jedes "be-greifbare" Modell

("Mathematik zum Anfassen")

didaktisch besser als zweidimensionale, "abstrakte" Computerprogramme

(und überhaupt halte ich Computer

[inkl. "Grafikfähiger Taschen Rechner"; vgl. ]

in der Schule für einen

[völlig un-, ja geradezu antimathematischen]

Irrweg, von dem einige ewig Gestrige, sich aber ungemein fortschrittlich Dünkende leider noch immer nicht abzubringen sind;

und dass

• GTR inzwischen in den Richtlinien vorgeschrieben sind und
• bei der "QualitätsAnalyse" von Schulen nur das Faktum Computereinsatz [positiv] mitbewertet wird, nicht aber sein Sinn,

ist ein handfester Skandal!).

Inzwischen habe ich viele Computerprogramme aus der Sammlung "Bewegte Mathematik" doch nochmal als mechanische Modelle umgesetzt.

Dennoch haben Modelle einen entscheidenden Nachteil: in der Regel ist ihre Erstellung so aufwendig, dass immer nur ein

(auch noch hinten in den Klassenräumen erkennbares und damit nebenbei auch beeindruckes)

Tafelmodell möglich ist, nicht aber ModellE für alle Einzelschüler - mit der Folge, dass die Schüler die Modelle in der Regel nicht selbst handhaben können, sondern ihre Handhabung

(vom Lehrer oder einigen wenigen Schülern)

nur vorne vorgemacht wird, also letztlich doch immer noch abstrakt bleibt, was dem eigentlichen Zweck der Modelle ja grob widerspricht.

• Erst jetzt, da mich langsam die Altersweisheit streift, geht mir das höchste Ideal auf:

:

Schüler müssen

(immer mal wieder)

Mathematik selbst tun.

(Es besteht ein gewaltiger Unterschied zwischen

• Nur-Ansehen,
• Nur-Statischem-Anfassen,
• Tun!)

Um mal so richtig feste "ganzheitlich" zu werden: im besten Fall tun die Schüler Mathematik mit ihren ganzen Körpern

(bis hin zum Orgasmus beispielsweise über einen ästhetischen mathematischen Beweis!):

Nebenbei: die Körper

(oder zumindest die Hände)

der Schüler sind oft schlauer als

• wenn schon nicht ihr Gehirne, die ja auch Teile ihrer Körper sind,
• so doch ihre Münder!

Ein schönes altes Beispiel: "erkläre, was eine Wendeltreppe ist".

"Man kann nicht nicht denken" (???), und entsprechend kann man auch nicht nichts tun: selbst wenn man nur faul auf dem Sofa liegt, tut man doch etwas, nämlich liegen.

Natürlich tut man auch in der konventionellen Schulmathematik andauernd etwas, nämlich

1. mit voller Kraft voraus denken:

"Mein Gott, ist das beziehungsreich
ich glaub', ich übergeb' mich gleich."
(Robert Gernhardt)

Da ist mir

doch allemal lieber!

(die eigentliche Mathematik findet immer im Kopf statt, weil es nur dort die Welt platonischer Ideen

[perfekter Kreise, irrationaler Zahlen ...]

gibt),

2. Rechnungen als Gedächtnisstütze und für die Kommunikation mit anderen niederschreiben,

3. Planskizzen erstellen, um der inneren Anschauung auf die Sprünge zu helfen:

ein richtiger Mathematiker braucht

(wie ein Schriftsteller!)

als Handwerkszeuge also nur

•  einen und

• bzw. und eine  ,

• aber doch nicht so einen teuren und reparaturanfälligen Quatsch wie ein oder .

Mathematik ist somit überall und jederzeit möglich - also sofort, wenn einem eine Idee kommt!

Das Problem ist aber, dass Schüler in der Schule

(und zwar auch in den meisten anderen Fächern!)

kaum jemals etwas anderes "tun" als schreiben, schreiben, schreiben

(dass also der allermeiste Unterricht immer nur [einseitig] verbal bleibt

[vgl. auch "Wenn alles schläft und einer spricht,
                    den Zustand nennt man Unterricht."
                   (Wilhelm Busch)];

und die Mathematik ist ja auch "nur" eine weitere Sprache!):

man schaue sich nur mal die gespenstische Situation an, wenn Schüler

(die im normalen Unterricht über Tische und Bänke gehen bzw. ununterbrochen fachfremd quasseln oder sich - ganz im Gegenteil - im Totstellreflex üben:

"in Mathe bin ich Deko")

in Klassenarbeiten plötzlich feierlich schweigend und andächtig über ihre Hefte gebeugt sind und sich

(bis hin zum Krampf in der Hand)

die Finger wund schreiben!

(Möglichst schnell möglichst viel, damit darunter hoffentlich auch was Gutes ist. Also sprachlicher Durchfall - und genau so muss es Schülern vorkommen.

Und insbesondere Mathearbeiten laufen ja vor allem auf Zeitdruck hinaus, also das Gegenteil der Arbeit eines "echten" Mathematikers - oder Schriftstellers.)

ist zumindest immer dann angesagt, wenn in der Mathematik nicht ohne Hintersinn Tätigkeitsmetaphern benutzt werden, also z.B. bei den beiden Kongruenzabbildungen "Drehen" und "Verschieben".

Nehmen wir zuerst die vermutlich schwierigste Kongruenzabbildung, also "Drehen"

(wohlgemerkt als [wenn auch substantiviertes] Tu-Wort = Verb, nicht als subjektloses Nomen "Drehung").

Es ist eine Standardaufgabe im Matheunterricht, dass ein (komplettes!) Dreieck gedreht werden soll

(Dreieck, weil alle anderen Vielecke aus Dreiecken zusammengesetzt werden können).

Bei der im Matheunterricht üblichen "Konstruktion mit Zirkel [= Kreis/rund] und Lineal [= Gerade/gerade]"

• wird nun aber das Anfangsdreieck erstmal bis auf seine Eckpunkte abgenagt

(und verliert damit alles Konkrete bzw. seinen inneren Zusammenhang;
was wird denn z.B. aus den Seitenstrecken, bleiben sie gerade Strecken?),

•  die Komplettdrehung des Dreiecks in drei

(nacheinander folgende und sogar voneinander völlig unabhängige)

Einzeldrehungen der Eckpunkte zerlegt,

• erst danach wieder das (Bild-)Dreieck eingezeichnet bzw. erneut zusammengesetzt, so dass

• letztlich nur das Anfangsdreieck (der Anfangszustand der Drehung) und das Bilddreieck (der Endzustand der Drehung) sowie die fertigen Drehkreissegmente ("Bremsspuren") sichtbar sind - also das eigentliche Drehen (der Drehprozess) eben gerade nicht! Und fast am wichtigsten:

• es werden ja nichtmal die Punkte

(geschweigedenn das ganze Dreieck)

gedreht, sondern "nur" der dem eigentlichen Problem "wesensfremde" Zirkel!

Man könnte all das auch als Etikettenschwindel bezeichnen.

Natürlich muss man auch diese

(auf den ersten Blick arg umständliche)

typisch mathematische Zerlegerei eines großen in aufeinander folgende kleine Probleme lernen - aber damit fange man doch bittschön nicht an!

Keine wirkliche Tätigkeit ist hingegen die Kongruenzabbildung "Achsenspiegelung", denn beim wirklichen Spiegeln ist ja nur der Spiegel "aktiv", aber kein Mensch

(dessen Tätigkeit ja "nur" darin besteht, den Spiegel in eine bestimmte

[evtl. durchaus strategisch geplante]

Position zu halten).

Aber ich halte das Spiegeln mit einem echten Spiegel sowieso nur für bedingt hilfreich, weil dabei

• das Spiegelbild virtuell und

• der Spiegel-"Mechanismus" völlig abstrakt bleibt.

Die klassische Zirkel-Lineal-Konstruktion der Achsenspiegelung hat aber dieselben Nachteile wie die der Drehung (s.o.).

Um das Phänomen "Achsenspiegelung" zu verdeutlichen, scheint mit ein Klappmechanismus am besten geeignet, bei dem

• beispielsweise ein (!) komplettes (!) Dreieck

• um ein Scharnier geklappt wird, das auf der Spiegelgeraden liegt:

(das Modell läßt sich auch kostengünstig und "schülerfreundlich" aus OHP-Folien bauen);

• weil das Dreieck fest am Klappmechanismus befestigt ist und kein weiterer Mechanismus vorhanden ist, bleibt das Dreieck bei der Achsenspiegelung selbstverständlich völlig unverändert und sind somit das Ausgangs- und das Enddreieck kongruent = deckungsgleich

("deckungsgleich" ist zwar deutscher als "kongruent", aber ohne Besinnung auf seine Wortbestandteile "beim [wechselseitigen] Bedecken gleich" auch nicht viel verständlicher:           deckungsgleich:      nicht deckungsgleich:

•  der soeben niedergeschriebene Satz

"bleibt das Dreieck [Singular!] völlig unverändert und sind [Plural!] somit [1.] das Ausgangs- und [2.] das Enddreieck kongruent"

ist auf den ersten Blick unlogisch, weil ein Ding nicht zwei Dinge sein kann

(ein sprachlich-logisches Problem, das mehrfach in der Schulmathematik auftaucht und für so einige Schwierigkeiten bei Schülern sorgt: so können z.B. in der Vektorgeometrie zwei [Plural!] Geraden oder Ebenen identisch [= ein bzw. eine, also Singular!] sein. Gemeint ist damit wohl, dass

• zwei aufgrund unterschiedlicher Schreibweisen scheinbar völlig andere Geraden/Ebenen
• sich erst nach langer Rechnung als ein und dieselbe Gerade/Ebene, nur sozusagen in verschiedener Verkleidung, erweisen:

• scheinbar Unterschiedliches
• in Wirklichkeit dasselbe
•  bzw. scheinbar Identisches
• in Wirklichkeit unterschiedlich ist].

Ich hingegen fasse den Satz

"bleibt das Dreieck [Singular!] völlig unverändert und sind [Plural!] somit [1.] das Anfangs- und [2.] das Enddreieck kongruent"

nicht als unlogisch, sondern als Ausdruck einer Komplementarität auf:

"Komplementarität ist ein Begriff der Erkenntnistheorie für zwei (scheinbar) widersprüchliche, einander ausschließende, nicht aufeinander reduzierbare Beschreibungsweisen oder Versuchsanordnungen, die aber in ihrer wechselseitigen Ergänzung zum Verständnis eines Phänomens oder Sachverhaltes im Ganzen notwendig sind."
[Quelle: ]

Oder um ein eher mittelprächtiges Gedicht von Goethe höchstpersönlich zu bemühen:

In unserem Zusammenhang: "zwei Dreiecke" und "ein Dreieck" sind zwei (!) Seiten derselben (einen!) Medaille

von denen

[je nach Perspektive, aber auch Interesse]

in einer Art "Kippfigur" immer nur jeweils eine sichtbar ist:

• im ersten Fall

[bei der klassischen Konstruktion der Achsenspiegelung mit Zirkel und Lineal]

wird ein Anfangsdreieck zu einem [anderen] Enddreieck; beide [!] sind sich aber täuschend ähnlich

[hier noch im umgangssprachlichen, nicht mathematischen Sinn von "ähnlich"],

da nur die Lage und Orientierung

[Reihenfolge der Eckpunkte im bzw. gegen den Uhrzeigersinn]

sie unterscheidet;

es ist, als wenn man zwei [!] ununterscheidbare Bücher hätte, von denen

• das eine mit der Vorderseite nach oben in der linken,
• das andere mit der Rückseite nach oben in der rechten Raumhälfte liegt:

                                
                               erstes Buch                                        zweites Buch

• im zweiten Fall

Buch vorher                                     Buch nachher

Beide Seiten der(selben) Medaille "Achsenspiegelung" haben ihre jeweiligen, komplementären Vor- und Nachteile:

• die Nachteile der klassischen Konstruktion waren oben schon ausführlich diskutiert worden; der entscheidende Nachteil dieser Konstruktion scheint mir aber zu sein, dass da etwas (allzu?) Selbstverständliches

(dass ein Buch nicht seine Form verändert, wenn ich es durch den Raum trage)

über-, ja geradezu totproblematisiert wird;

• ein erster Vorteil der Konstruktion besteht hingegen darin, dass man am Ende sowohl den Anfangs- als auch den Endzustand sieht und beide somit gut vergleichen kann;

•  der zweite Vorteil der Konstruktion ist, dass sie mit einfachsten Mitteln

(Papier, Zirkel und Lineal)

und somit jedem Schüler möglich ist: ein Vorteil, der allerdings mit einer erheblichen Schwierigkeit und Abstraktheit des Verfahrens erkauft wird;

• ein erster Nachteil des Klapp-Verfahrens besteht in der schon oben angesprochenen aufwendigen Herstellung:

• solch eine Modellherstellung ist oftmals extrem zeitintensiv,
• sie kostet stolze Summen

(zumal dann, wenn man - wie ich - viele Modelle für viele verschiedene [am besten alle!] Unterrichtsinhalte der gesamten Schulzeit baut),

• und führt meistens (s.o.) zu einem einzigen "Vorführmodell".

Da wäre zu fragen,

• ob's nicht auch einfacher geht

(vgl. aber auch das "Springspiel" weiter unten);

• ob man die Schüler sogar an der Herstellung eines eigenen Modells beteiligen könnte:

• nicht bloß, um die Herstellungsarbeit auf mehr Schultern zu verteilen und somit schneller erledigen zu können

(was vermutlich sogar ein Irrtum ist, da vielen Schülern zwei linke Hände haben und somit die Herstellung in der Klasse ewig langer Instruktionen bedürfte; für solchen Aufwand

[wie überhaupt für jedes tiefere Verständnis]

hat man aber beim stetig zunehmenden Stoffdruck immer weniger Zeit;

und viele Schüler sind ja auch so ungeschickt, dass sie ohne böse Absicht jedes filigrane Modell kaputt machen

[man repariert sich dumm und dämlich];

ein Grund mehr,

• nur "Vorführmodelle" zu bauen, die allein der Lehrer bedient, oder
• nur noch Modelle aus Stahl und Beton zu bauen, die man mit einem Sattelschlepper in die Klassenräume bringt),

• sondern auch oder sogar vor allem, weil man

(was hier nicht näher erklärt werden kann)

enorm viel über Mathematik lernt, wenn man vor konstruktive Probleme gestellt wird;

• ein zweiter, auf Anhieb vielleicht sogar viel gravierenderer Nachteil des Klappverfahrens ist, dass man bei ihm erst nur den Anfangs- und am Ende nur den Endzustand, aber eben nicht zum Vergleich beide gleichzeitig sehen kann.

Fragt sich nur, ob das beim Klappverfahren überhaupt nötig ist, da bei ihm

(anders als bei der Konstruktion)

der einzige Gegenstand ja offensichtlich unverändert bleibt.

Außerdem ist beim Klappverfahren ja ein simpler Trick möglich: man legt auf die linke Seite eben doch zwei Bücher, von denen nur eines auf die rechte Seite geklappt wird

(und dabei natürlich dasselbe bleibt):

Mag sein, dass Schüler auch die Konstruktion lernen müssen, aber damit würde ich doch auf keinen Fall anfangen: mir scheint es wichtig, dass sie vorweg ein intuitives Verständnis für die Achsenspiegelung bekommen

(ein Film in ihnen abläuft),

so dass sie, wenn sie dann später zur Konstruktion kommen,

• schon vorher sehen, wohin ein Gegenstand bei der Achsenspiegelung wandern wird

(wie also der Endzustand ungefähr aussehen wird),

• nach der Konstruktion sofort sehen, ob der Endzustand überhaupt korrekt sein kann.

Die Konstruktion einer- und das Klappen andererseits sind nicht nur mathematisch unterschiedlich, sondern zeugen auch von völlig unterschiedlichen außermathematischen Problemen;

• im ersten Fall werden zwei (!) an verschiedenen Orten lagernde Dinge verglichen,

• im zweiten Fall soll ein (einziger!) Gegenstand unbeschädigt (unverändert) von A nach B verbracht werden.

Didaktisch besonders interessant, weil heikel scheint mir aber die Punkspiegelung zu sein, denn im Gegensatz zum Klappmechanismus bei der Achsenspiegelung ist mir k(aum)ein Mechanismus "aus freier Wildbahn" bekannt, der eine Punktspiegelung ausführt.

Von wegen "kaum ein": eine Punktspiegelung findet immerhin im Auge bzw. der Camera obscura statt, wenn man mal vom

(im Falle des Auges ziemlich unsinnigen)

Spezialfall ausgeht, dass das "punktzuspiegelnde" Objekt

• genauso weit

  • von der Pupille des Auges

  • bzw. vom Vorderloch der Camera obscura entfernt ist

• wie

  • die Pupille von der Netzhaut

• bzw. das Vorderloch von der Rückwand (dem Film) der Camera obscura

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		Älteste bekannte Illustration einer Camera obscura. Stich von R. Gemma Frisius, De radio astronomico et geometrico liber, 1545

Sowohl das Auge als auch die Camera obscura scheinen mir aber zumindest als Einstieg in die Punktspiegelung wenig geeignet, weil man die Lichtstrahlen nicht sehen kann, sondern bereits konstruieren muss

(es ist und bleibt ja höchst erstaunlich bzw. geradezu paradox, dass man Licht "an sich" nicht sehen kann, sondern nur be-leuchtete Gegenstände).

Bzw. man müsste mal ausprobieren, ob man die Lichtstrahlen in einer Camera obscura vielleicht doch sehen kann, wenn man aus der Dunkel- gleichzeitig eine Nebelkammer macht.

Beim Auge käme das Problem hinzu, dass es sich verböte, ein reales (Menschen-)Auge zu benutzen

(mein Biolehrer hat deshalb seinerzeit Rinderaugen mitgebracht - und damit die halbe Klasse schockiert: auch wenn's "nur" Rinderaugen waren, geht's bei Augen doch immer ans "Eingemachte").

Man könnte also höchstens mit dem "Abklatsch" eines Auges, nämlich einem Augenmodell arbeiten:

Das Auge wie auch die Camera Obscura haben zudem den Nachteil, dass man mit ihnen

(insbesondere, wenn man zwecks Vereinfachung nur den Querschnitt betrachtet)

nur zweidimensional "sehen" kann und somit die Punktspiegelung des Lieblings-Mathematiker-Kinds "Dreieck" nicht möglich ist.

Nun läßt sich glücklicherweise auch für die Punktspiegelung ein Klappmechanismus bauen, der die Punktspiegelung "tut":

Leider und eben gleichzeitig auch bezeichnenderweise kann das zweidimensionale Photo nicht den eigentlichen "Gag" des Modells zeigen:

• gut sichtbar sind zwar die spinnenartigen (s.u.) Geraden durch A/A', B/B' und C/C',
• nicht sichtbar ist hingegen der Klappmechanismus, nämlich eine zusätzliche, im Spiegelpunkt S befestigte Halbgerade, die man z.B. von SA zum Betrachter hin zu SA', also dreidimensional aus der Tafel raus und wieder in sie rein klappen kann.

Dieser Klappmechanismus hat nun aber den Nachteil, dass mit ihm

• nicht (mehr)

(wie beim Klappmechanismus für die Achsenspiegelung)

ein komplettes Dreieck "punktgespiegelt" werden kann,

•  sondern nur

(wie bei der Konstruktion!)

nacheinander die einzelnen Eckpunkte

(mit allen oben beschriebenen Nachteilen!).

Es gäbe allerdings indirekt doch einen Mechanismus für die Punktspiegelung, da diese ja dasselbe ist wie eine 180⁰-Drehung. Aber aus zwei Gründen würde ich aber bei der Punktspiegelung nicht sofort den Umweg über die 180⁰-Drehung gehen:

1. , weil auch die "Dichothymie" Punktspiegelung/180⁰-Drehung eine Kippfigur ist: wer die 180⁰-Drehung durchschaut, erkennt darin noch keineswegs auch die Punktspiegelung oder gar ein Verfahren, um letztere durchzuführen;

2. halte ich eine Menge davon, die Punktspiegelung und die Drehung völlig unabhängig voneinander einzuführen

(zumal ja die 180⁰-Drehung nur ein Spezialfall der [allgemeinen] Drehung ist und damit erst mal

[Ordnung muss sein!]

in ein ganz anderes Regalbrett gehört)

und erst am Ende zum allgemeinen Erstaunen zu zeigen, dass sie äquivalent sind!

Und doch ist die 180⁰-Drehung ein guter Tipp im Hinblick auf die Punktspiegelung. Ich stelle mir nämlich eine Punktspiegelung folgendermaßen vor:

•  Drehung im Zweidimensionalen, z.B. auf einem Blatt Papier auf dem Schreibtisch:

• das zweidimensionale Blatt Papier wird senkrecht z.B. über die Torlinie eines Fußballfeldes gesetzt:

Was hier vorgeführt wird, wäre im echten Fußball ziemlich absurd - und doch auch eine Meisterleistung: ein Eck-Eck-Stoß, d.h. ein Schuss

• von der Ecke rechts oben
• im hohen

(ausnahmsweise mal kreis- und nicht parabelförmigen)

Bogen übers Tor

• in die andere Ecke links oben.

Im richtigen Fußball nennt man sowas wohl "Bogenlampe"

(neudeutsch "Lupfer"):

Und wenn wir uns diesen Eck-Eck-Stoß nun von oben, also wieder zweidimensional anschauen, erhalten wir die Konstruktion der Punktspiegelung:

  ,

und genauso stelle ich mir die Punktspiegelung vor: ein Punkt fliegt

• nicht (nur) gerade-zweidimensional auf dem Papier auf die andere Seite von Z,

• sondern auch halbkreisförmig-dreidimensional

  • aus dem Blatt raus,

  • hinter meinem Rücken her und

  • auf der anderen Seite wieder aufs Blatt drauf

 (vgl. den genauso funktionierenden Klappmechanismus zur Punktspiegelung oben),

d.h. das platte Zweidimensionale wird für mich gegenständlich dreidimensional, und eine Punkt- wie eine Achsenspiegelung ist für mich ein Sprung

(über einen Punkt bzw. Gerade).

Die Fußball-Bogenlampe erinnert mich aber an ein Ballspiel, bei dem ein Flummi an einem Gummiband

• in die eine Richtung fliegt,

• nach dem Aufprall zurückkommt und dann

• in gleicher Entfernung auf der anderen Seite aufschlägt.

Und wenn ich mich beim peitschenartigen Schlagen auch noch drehe und immer wieder verschieden stark schlage, entstehen, von oben gesehen, massenhaft Punktspiegelungen:

Wer das mal erlebt

(d.h. mal richtig mit einem Ball so um sich geschlagen hat),

wird, so glaube bzw. hoffe ich, das Grundprinzip der Punktspiegelung nie wieder vergessen.

Mag sein, dass ich spinne (!), aber daraufhin habe ich für "meine" derzeitige 5. Klasse erstmal (spottbillig!) massenhaft solche Flummis bestellt

,

die ich demnächst mit den Schülern

(in gehörigem Abstand voneinander)

auf dem Schulhof auszuprobieren gedenke:

Es gibt aber (mindestens) zwei viel einfachere und praktikablere Möglichkeit, die "Prinzipien" Achsen- und Punktspiegelung tätig zu erfahren.

1. ein variiertes

(genügend Spielfelder für alle Schüler lassen sich spielend leicht kopieren)

Das übliche Spiel wird ergänzt durch

• einige "Ereignisfelder" o

• zwei Geraden ---- und ---- (zwecks Achsenspiegelung) sowie

• den Spielfeldmittelpunkt o (zwecks Punktspiegelung):

... was mir willkommener Anlass ist, hier auch noch eine andere    3D-Mensch-ärgere-dich-nicht-Variante unterzurühren, die ein Schüler [Julius Hülshoff] und ich in einer Kombinatorik-Unterrichtseinheit zusammen entwickelt haben und bei dem man an einigen Punkten auch nach oben oder unten "schlagen" kann.         Vgl. Das Beste an - und vermutlich Garant für seinen enormen Erfolg - ist aber der Titel: das universelle "Mensch", das unterstellt, dass Verlieren und Gewinnen ans eingemacht Menschliche geht (man beachte nur mal, wie sogar ansonsten friedliche Menschen zum werden, wenn sie verlieren/gewinnen); ich vermute aber, dass eher ein vorwurfsvoll stöhnendes "Möööönsch" ("Möööönsch, reiß' dich zusammen") gemeint ist; das "nicht", dass ja voraussetzt, dass der Angesprochene sich soeben geärgert hat: auch noch das selbstreflexive "ärgere DICH": man ärgert ja vor allem sich SELBST - und kann's somit auch lassen. Überhaupt ist ja eine Anweisung als Spieltitel höchst ungewöhnlich - und wer spricht da eigentlich?

Wer bei mit einer Figur auf ein Ereignisfeld o kommt, muss eine Ereigniskarte ziehen. Davon gibt es drei Arten:

• springe über die Gerade ---- ,
• springe über die Gerade ---- ,
• springe über den Spielfeldmittelpunkt o .

Die Ereignisfelder sind unregelmäßig verteilt, damit nicht immer dieselben Sprünge zustande kommen. Weil aber jede Figur jedes Spielers einmal ganz rum muss, benachteiligt die unregelmäßige Verteilung der Ereignisfelder niemanden.

(Es ist durchaus Absicht, dass man mehrfach nacheinander auf Ereignisfeldern landen kann.)

Die Sprungstrecken sind bewusst nicht eingezeichnet,

• um das Spielfeld nicht zu unübersichtlich werden zu lassen,
• damit die Schüler sie im Kopf selbst ergänzen.

2. ein "Gruppenspringen"

• entweder (Achsenspiegelung) parallel über
  • eine Gerade,
  • mehrere Geraden nacheinander, die

• senkrecht oder
• schief oder auch
• parallel zueinander liegen,

• oder (Punktspiegelung) "überkreuz" über
• einen Punkt,
• mehrere Punkte nacheinander

(da lassen sich hübsche, -ähnliche Spielregeln entwickeln, bzw. Halma

[das fällt mir jetzt erst auf]

ist ja angewandte Punktspiegelung - weshalb ich jetzt natürlich prompt ein Halma-Spiel für meinen Unterricht bestelle.)

Die Schüler werden ausdrücklich aufgefordert, verschiedene Springmuster zu erfinden, und vielleicht finden sie dabei ja z.B. periodische Muster.

Hilfreich könnten dabei eine Art Teppiche mit Distanzlinien sein:

Oder mannutzt einfach die vorhandenen Linien des Bodens

(z.B. Stoßkanten von PVC-Bahnen oder Fugen zwischen Fliesen:  ).   

Vor allem aber können die Schüler durch Einander-die-Hände-Reichen Figuren

(z.B. Dreiecke)

bilden und dann

(anders als bei den Konstruktionen oben)

als ganze Figuren springen.

Eine vereinfachte Version des Springspiels besteht darin, nicht die Schüler springen zu lassen, sondern Gegenstände auf einem Tisch.

Es geht mir nicht um Tätigkeit als Selbstzweck oder blinden Pragmatismus

(etwa so, wie modische Methoden

[z.B. das Stationenlernen]

lange Zeit jedem x-beliebigem Inhalt übergestülpt wurden),

sondern die jeweilige Tätigkeit sollte direkt mit dem jeweiligen fachlichen Inhalt zu tun haben.

D.h. es gibt für die gesamte Schulmathematik keine zwei exakt gleiche Tätigkeiten, wohl aber - und da wird's interessant! - strukturell ähnliche.

Z.B. ist das "Gruppenspringen" vielleicht bei den Spiegelungen hilfreich, aber sicherlich nicht z.B. beim Satz des Pythagoras.

Eine Tätigkeit (Methode), die bei allen Inhalten machbar ist, ist fast sicher Motivations-Schnickschnack, den auch die Schüler sehr bald durchschauen werden!

Ein Problem, das so sicher auftritt wie das Amen in der Kirche, wird aber sein, dass viele Schüler

(zumindest, wenn solch eine Tätigkeit zum ersten Mal im Unterricht auftaucht)

den kausalen Zusammenhang zwischen einer Tätigkeit und einem gerade anstehenden mathematischen Problem gar nicht erkennen, sondern die Tätigkeit als Schnickschnack und als Freibrief zum Quatsch-Machen ansehen:

so naiv kann ein Lehrer doch gar nicht sein, nicht vorauszusehen, dass

(auf jeden Fall dann, wenn man vorweg keine rigiden Anweisungen gibt)

viele Schüler z.B. bei erstmal mit diesen wild um sich und einander schlagen werden - und nach wenigen Minuten die Hälfte der Bälle kaputt ist.

Das ist nicht böser Wille, sondern erstmal auf die "Phänomene" (Wagenschein) losgelassen, probieren die Schüler

(die ja ansonsten permanent in rein verbalem Unterricht gefangen sind)

diese "Phänomene" natürlich erstmal in allen Konsequenzen aus!

Immerhin kann man diese Neugierde von Schülern ja ausnützen, und am besten wären Spiele/Experimente,

• denen Mathematik nicht

(arg pädagogisierend)

übergestülpt wird

(woraufhin Schüler sie natürlich sofort wieder weglassen),

• sondern bei denen die Schüler automatisch zu mehr oder minder "mathematischen" Erkenntnissen kommen.

Ein Beispiel aus einem anderen Zusammenhang: wenn man im Fach Physik im Teilgebiet Optik die Gleichheit des Einfalls- und des Ausfallswinkels durchnimmt, lasse man die Schüler doch

(wenn man zufällig gerade sieben Billardtische zur Verfügung hat :-)

einfach mal kommentarlos Billard spielen: man muss dabei die Einfalls- und Ausfallswinkel nicht mal so benennen, die Schüler werden sie schon von selbst "erfahren"!

Viele Schüler werden sich aber aus jeder sonstigen Tätigkeit zurückziehen

("können wir nicht endlich wieder 'richtigen' Mathe-Unterricht machen?; und mit einer Mischung aus Staunen und Entsetzen habe ich jüngst feststellen müssen, dass es sogar schon in einer 5. Klasse

[also immerhin doch nach einer oftmals viel besseren Grundschulpädagogik]

tatsächliche oder selbst ernannte gute Mathematiker/Kleinngeister gibt, die alles, was nicht direkt Rechnung ist, für Blabla halten und strikt ablehnen):

1. , weil solche Schüler nach ewigen Standard-Mathe-Unterricht nur diesen als Maßstab haben und damit jeder andere Unterricht keine "richtige" Mathematik ist;

2. , weil viele Schüler rein zensuren-, und das heißt oftmals klassenarbeitenorientiert sind und "so ein Pipifax wie mathematischer (?)

Ringelpiez mit Anfassen"

in Klassenarbeiten gar nicht "objektiv" abprüfbar ist;

3. , weil ihnen der Zusammenhang z.B. von Optik und Billard unklar bleibt, wenn der Lehrer nicht penetrant darauf hinweist

(und Billard macht ja kaum mehr Spaß, wenn es vom Schulfach Physik vereinnahmt wird);

4. , weil mathematisches Tun

(wie im Deutschunterricht das Vorlesen von Gedichten oder das Auftreten in einem Schul-Theaterstück)

eines Schusses Exhibitionismus bedarf, der in der Pubertät anscheinend notgedrungen als peinlich empfunden wird

(ansonsten ist es wie mit Märchen: die findet man mit sechs Jahren noch gut und mit 20 schon wieder, aber dazwischen ...?).

Aus all dem folgt, dass man als Lehrer die Schüler ab und zu zu ihrem Glück zwingen muss

(wenn man eine Schulleitung hat, die solche "sozialistischen Experimente" mitträgt).

Problematisch bleibt dieser Ansatz aber allemal, wenn man (ich) der einzige Lehrer (Spinner) an s/meiner Schule ist (bin), der so unterrichtet, wenn also die "Normalität" anders aussieht.

Ein besonders schönes Beispiel für hilfreiches Tun ergibt sich bei der folgenden Aufgabe, die geradezu ein Klassiker ist:

"Bestimme die Länge einer Raumdiagonale eines Quaders!"

(Nebenbei: "einer"

[aber so genau hören Schüler ja oftmals nicht hin, bzw. so viel Sprachgefühl haben sie (noch) nicht]

setzt schon voraus, dass es mehrere gibt, und läßt den Schülern erstmal die Wahl, welche Raumdiagonale sie berechnen, vor allem aber die vermutlich intuitive Erkenntnis, dass alle vier Raumdiagonalen gleich lang sind.)

"Wie ich den Laden hier kenne", wird etwa die Hälfte der Schüler nicht (mehr) wissen, was ein Quader ist

(1., weil Quader nur alle Jubeljahre um Mathe-Unterricht vorkommen,

2., weil sich "Quader" gefährlich nach "Quadrat" anhört),

und nochmals die Hälfte davon wird nichtmal nachfragen, sondern gleich aufgeben. Und genauso wird's vermutlich beim Begriff "Raumdiagonale" sein.

Nun wird wohl kaum ein Lehrer/Schulbuch die so allgemeine Aufgabe

(und damit die Frage nach der allgemeinen Lösungsformel für alle Quader)

gleich als Einstieg stellen

(warum eigentlich

[von wegen "Differenzierung" und "individuelle bzw. Begabtenförderung"]

für "gute" Schüler nicht?!).

Sondern üblicherweise werden wohl konkrete Werte mitgeliefert, also z.B.

"Bestimme die Länge einer Raumdiagonale eines Quaders
mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm",

womit immerhin schon halbwegs klar wird, was überhaupt ein Quader ist.

Die Angabe der Seitenlängen in Zentimetern ist natürlich dem Umstand geschuldet, dass eine Planskizze und die Rechnung im Schulheft erstellt werden sollen.

Gleichzeitig sorgen die Bonsaimaße aber auch dafür, dass der Quader für viele Schüler unvorstellbar (klein) bleibt.

(Viele Schüler haben keinen

[gar in jeder Richtung dreh- und durchdringbaren]

Proto-Quader im Kopf, und ihnen ist dann schon enorm geholfen, wenn man ihnen beispielsweise einen

[vermutlich doch in jedem Klassenzimmer vorhandenen]

Tafelschwamm

hinlegt.)

Geht's nicht auch größer und damit vorstellbarer?!

(Warum denn wohl hat man Meter und nicht Zentimeter als Grundeinheit gewählt?: weil Meter dem Menschen [seiner Körpergröße] adäquater sind: "der Mensch ist das Maß aller Dinge")

Man nehme, wenn man hat, einen Klassenraum - also der Klasse, in der man gerade die Quaderaufgabe stellt

(der wird doch garantiert quaderförmig sein!).

Bei solch einem Klassenraum muss man nicht mal

• erklären, was ein Quader ist bzw. dass der Klassenraum ein Quader ist,

• die Maße angeben

(die Schüler können ja selbst messen; und es ist ja sogar mathematisch wünschenswert, dass man erst mal unabhängig von den konkreten Maßen des Klassenraums loslegt - und somit hinterher schnell bei der Verallgemeinerung für alle Quader ist).

Mehr noch: die Unklarheit, was überhaupt mit "Raumdiagonale" gemeint ist, fällt weg, weil man sie ja zeigen (= tun!) kann:

(Wie einfach das doch im Vergleich mit der rein sprachlichen Form "von der Ecke hinten links unten zuder Ecke vorne rechts oben" ist!)

Der allergrößte Vorteil des Klassenzimmers im Vergleich mit einem Mini-Quader oder auch einem Tafelschwamm ist aber, dass der Klassenraum groß genug ist, um in (!) ihm zu sein, also den Quader nicht erst

(und das ist meist nur in Gedanken möglich - und natürlich auf die Dauer ein heeres Ziel!)

aufschneiden zu müssen.

Das geradezu typische Problem bei der Berechnung der Länge der Raumdiagonale ist, dass man zwei Mal den Satz des Pythagoras anwenden muss, und zwar

1. ,

2. .

In beiden Fällen braucht man eine Hilfslinie

(die Bodendiagonale ---- ),

von der aber in der Aufgabenstellung überhaupt nicht die Rede ist.

Außerdem steht in der Aufgabenstellung auch nichts vom Satz des Pythagoras. Nun sollte man bei rechtwinkligen Dreiecken natürlich (!) immer (!) sofort (!) an den Satz des Pythagoras denken

(und immerhin wird die Aufgabe ja üblicherweise gestellt, wenn im Unterricht gerade der Satz des Pythagoras "dran" ist),

aber von rechtwinkligen (!) Dreiecken (!) ist ja in der Aufgabenstellung ja auch nirgends die Rede

(und auch im Klassenraum sind die massenhaft vorhandenen, aber gerade deshalb allzu selbstverständlichen rechten Winkel nicht ausdrücklich als solche bezeichnet;

es reicht also nicht, bei bereits klar erkennbaren echtwinkligen Dreiecken an Pythagoras zu denken, sondern man sollte bei geometrischen Aufgaben auch immer aktiv nach rechtwinkligen Dreiecken suchen

           [ : "wo ist meine goldene Kette (ein rechtwinkliges Dreieck),
                                      wo ist meine goldene Kette (ein rechtwinkliges Dreieck)?"],

also die Welt sozusagen mit rechtwinkligen Dreiecken überziehen bzw. verschandeln:

vgl. )

Mehr noch: in den zweidimensionalen Projektionen

,

ie üblicherweise der Aufgabe zwecks Veranschaulichung beigegeben werden

(auch um die Raumdiagonale nicht nur zu nennen, sondern auch zu zeigen),

kommen an den entscheidenden Stellen auch gar keine rechten Winkel vor, da diese Projektionen nicht "winkeltreu" sind, d.h. Winkel verzerren, so dass rechte Winkel, die in der dreidimensionalen "Realität" tatsächlich vorkommen, in der zweidimensionalen Projektion kleiner oder größer, auf jeden Fall aber nicht mehr rechtwinklig sind.

All diese Probleme mit der (Nicht-)Rechtwinkligkeit treten aber erst gar nicht auf, wenn man erst gar nicht mit zweidimensionalen Projektionen arbeitet, sondern mit dem drei imensionalen "echten" Klassenraum!

(Natürlich müssen Schüler irgendwann auch mit zweidimensionalen Projektionen arbeiten können, aber doch bittschön nicht gleich am Anfang und bei einer Aufgabe, die schon genug andere Probleme bereitet.

Und nebenbei: zweidimensionale Projektionen sollte man nicht nebenher einführen

[also den Umgang mit ihnen letztlich schon leichtfertig voraussetzen],

sondern ausdrücklich "problematisieren" und den Umgang mit ihnen ebenso ausdrücklich üben.

Aber für solche Feinheiten hat man ja heutzutage gar keine Zeit mehr!)

Das Hauptproblem, die entscheidende, aber in der Aufgabenstellung nicht genannte Hilfslinie

(eben die Bodendiagonale)

zu finden, löst sich aber "versehentlich" von selbst

(und damit bin ich endlich wieder bei meinem Thema "Matetu"!),

wenn man die (ergänzte) Aufgabe einfach (!) tut:

1. Miss die Raumdiagonale aus!

2. Berechne ihre Länge!

Denn wie wohl misst man (alleine) die Raumdiagonale?!:

• man befestigt ein Seil oder Maßband in der Ecke A

,

• geht aus purer Faulheit den kürzesten Weg

also entlang der Bodendiagonale (!!!) zum Punkt B

,

• steigt dann auf einer Leiter zum Punkt C hoch

• und spannt dann das Seil/Maßband von A zu C

,

wobei man vielleicht auch merkt, dass das Seil/Maßband selbst bei großer Spannung noch durchhängt

(einen Umweg statt der direkten, geraden Verbindung "geht" und deshalb eine zu große Länge "rauskommt";

merkwürdig: "rauskommen", aber "reininterpretieren" - und "über etwas nach[also zu spät]denken))

und sich deshalb eine anschließende Rechnung

(basierend auf nicht durchhängenden, also geraden Linien)

lohnen könnte.

Man muss also - so gesehen - die Rechnung gar nicht in der Aufgabestellung fordern, sondern braucht nur genaue Maße zu fordern bzw. zu motivieren.

Die Rechnung braucht nun aber der Tätigkeit des Seil-/Maßband-Spannens nur noch hinterher zu dackeln!

Zuguterletzt nur noch mit knappen Kommentaren ein Bespiel dafür, dass es lohnt, nicht nur Geometrie,

(wo es eher naheliegt).

sondern auch Algebra zu tun

(bzw. zumindest für Schüler die Algebra wieder mehr - wie bei den alten Griechen - zu geometrisieren):

wenn in der 5. Klasse beim

• Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz bzw.

• Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz

vom "Verschieben des Kommas" die Rede ist, so tue (!) man diese Tätigkeitsmetapher gefälligst auch, d.h. verschiebe tatsächlich das Komma!:

Das "Verschieben" funktioniert da tatsächlich mit allen (möglichen) Zwischenzuständen, statt

(wie sonst meist im Unterricht möglich)

das Komma nur am Ausgangspunkt verschwinden zu lassen und ohne Zwischenstationen direkt zum Endpunkt zu beamen.

Was aber sind "alle möglichen Zwischenpunkte"? Ein Komma kann doch nur exakt mitten zwischen zwei Dezimalstellen auftauchen, aber nicht z.B. unter einer Dezimalstelle

(also z.B. bei zweieinhalb Dezimalstellen):

die Verschiebung ist also nur in Sprüngen

(mathematisch ausgedrückt "diskret"),

nicht aber kontinuierlich

("stetig").

Genau genommen dürfte das Komma bei der Verschiebung also nur mitten zwischen den Dezimalstellen sichtbar sein und müsste ansonsten verschwinden, d.h. es dürfte beim Verschieben eigentlich nur ab und zu kurz

(an aufeinander folgenden Stellen)

aufblitzen:

Das ließe sich in einem Modell durchaus einfach umsetzen

(das Komma liefe sozusagen hinter einem Zaun her),

aber didaktisch scheint mit der (kontinuierliche) Prozess der Kommaverschiebung doch besser, weil näher an den Alltagserfahrungen der Schüler.

Am liebsten wäre mir aber ein Mechanismus, der die diskrete und die stetige

(also die mathematisch korrekte und die didaktisch sinnvolle)

Verschiebung miteinander verbände - und sowas gibt's tatsächlich!:

ein Mechanismus, der sich zwar kontinuierlich von A nach B bewegen läßt, aber, wenn man ihn irgendwo dazwischen losläßt, automatisch zu A oder B "flutscht"

(je nachdem, welcher der beiden Punkte gerade näher ist).

Sowas geht mit

Schubladenauszügen,

die die Schublade ab einem gewissen Punkt automatisch zuziehen.

(Ich habe sowas mal bei dem Modell des Wahrscheinlichkeitsintervalls [ 0 ; 1 ] an den beiden äußeren Enden benutzt, um regelrecht spürbar zu machen

[denn den Effekt kann man eher durch Berühren als durch bloßes Sehen bemerken],

dass

• bei allen Zwischenwerten 0 < p < 1 eine mehr oder minder große Wahrscheinlichkeit,
• für p = 0 und p = 1 hingegen urplötzlich Sicherheit vorliegt

[dass etwas garantiert (nicht) eintritt].)

Nebenbei und nun endlich auch zuguterletzt: gerade das Ausdenken bzw. Finden von Mechanismen, die spezifische mathematiche Probleme veranschaulichen, macht den eigentlichen Spaß am mathematischen Modellbau aus.

Sicherlich hat man irgendwann einen Fundus von Mechanismen

(und Materialien sowie Werkzeug)

für immer wieder auftauchende mathematische Probleme

(mit Plexiglas und Textilklebeband in verschiedenen Farben läßt sich fast alles machen!),

aber fast jedes Problem schreit auch nach einem neuen und ganz eigenen Mechanismus. Fast jedes Problem hat also seinen unverwechselbaren Mechanismus-.