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(Vorerst?) nur zwei (erste) Beispiele:

1. Eine Standardaufgabe zu den Exponentialfunktionen lautet etwa folgendermaßen:

"Auf einem See der Fläche 1000 m² befindet sich ein Algenteppich von 1 m², der sich jeden Tag verdoppelt. Wann nimmt der Algenteppich die gesamte Seefläche ein?"

Da ist alles - für deutsche SchülerInnen der Regelfall - hübsch fertig

(Zahlenangaben, Verlauf, Endzustand),

und insbesondere ist von Anfang an klar, worin die Aufgabe besteht, d.h. was überhaupt zu tun ist

(Berechnung, wann der Endzustand erreicht ist).

Die Aufgabe riecht von vorne bis hinten nach eingekleideter Mathematik

(eine MathematikerIn wird wissen, dass die Seefläche "der Einfachheit halber" am besten sogar nicht 1000, sondern 1024 m ² betragen würde),

und insbesondere bleibt völlig unklar, wieso der Endzustand überhaupt bemerkenswert ist

(der See "kippt", d.h. es ergibt sich - und zwar auf die Dauer ziemlich rasant - eine ökologische Katastrophe).

Zu fragen wäre also

(aber das ist hier nicht mein Thema),

ob man nicht ein reales Beispiel finden könnte, bei dem die ökologische "Dimension" besser klar würde.

Jüngst habe ich die "Aufgabe" aber mal ganz anders gestellt, nämlich:

"Der Algenteppich auf einem See verdoppelt sich."

Es war vorauszusehen, ja regelrecht geplant, was dann in der Klasse auch tatsächlich eintrat, nämlich ein Schrei der Entrüstung

"Das ist überhaupt keine Aufgabe, sondern die Feststellung einer Banalität wie etwa »die Sonne geht auf« oder »in China ist ein Sack Reis umgefallen«."

Aber dabei blieb es eben nicht, sondern irgendwann fragte ein Schüler eben doch nach:

"Verdoppelt sich die Algenfläche nur einmal?"

Und dann standen schnell verschiedene Fragen im Raum:

1. "Wie geht das weiter - und zwar auch dann, wenn der See bereits voll ist?"

(Geht die "Kettenreaktion" also endlos weiter? - womit doch immerhin erstmals die Dramatik deutlich wird.)

2. "Können wir uns das mit Zahlenbeispielen veranschaulichen - und welche Zahlenbeispiele sind geeignet?"

Prompt wurde die ein konkreter (rechteckiger) Sees in der Nähe der Schule genannt, der schätzungsweise 50 m lang und 30 m breit ist, also eine Fläche von 1500 m² hat.

Und als Anfangsgröße des Algenteppichs wurden 100 m² vorgeschlagen.

(Bei einer entsprechenden Zeichnung konnte nebenher für interessierte SchülerInnen die Frage eingebracht werden, ob/wie man ein Anfangsquadrat der Fläche 100 m² rein zeichnerisch in ein doppelt so großes neuen Quadrat verwandeln kann - eine Herausforderung, die auf die Konstruktion der Wurzel aus 2 hinausläuft und von einigen SchülerInneN auch tatsächlich angenommen wurde.)

Auf den von mir eingebrachten Vorschlag, mit möglichst einfachen Zahlen zu rechnen, um somit den Akzent vom Rechnen auf das grundlegende Problem zu verlagern, ergaben sich schnell die Anfangswerte, Anfangszeitpunkt 0, 1000 m² See- und 1 m² Algenfläche,

womit - durchaus beabsichtigt - schnell die Problematik auftrat, dass die dahinter stehende Gleichung

1000 = 2^x

nicht ganzzahlig lösbar ist

(denn 2⁹ = 512 < 1000 und 2¹⁰ = 1024 > 1000; anders gesagt: nach 9 Tagen ist der See noch nur ca. halb voller Algen, nach 10 Tagen wachsen die Algen bereits über ihn hinaus?).

Und prompt trat auch die die Frage auf, ob es für 1000 = 2^x

(also den exakten, irgendwo zwischen 9 und 10 liegenden x-Wert)

ein

(später im 10. Schuljahr anstehendes)

Lösungsverfahren

(den Logarithmus)

gibt.

Eine SchülerIn machte sogar zwecks Bestimmung des genauen Zeitpunkts x den regelrecht genialen Vorschlag, zu Quadratzentimetern und Stunden überzugehen, worauf ein anderer Schüler - und zwar keineswegs ironisch - gleich "oder Quadratmillimeter und Sekunden" einwarf - womit sich eine Intervallschachtelung des in der Tat ja irrationalen Werts x und ganz nebenbei schon die halbe Infinitesimalrechnung andeutete

(... und zu fragen wäre, ob dazu für alle/einige SchülerInnen ein hochinteressanter und mathematisch wichtiger Exkurs eingelegt werden kann - oder doch allzu sehr ablenkt und somit verunsichert).

2. Eine bekannte Pisa-Aufgabe lautet

"Eine Pizzeria bietet zwei runde Pizzas in derselben Dicke an. Die kleinere hat einen Durchmesser von 30 Zentimetern und kostet 30 Zeds. Die größere hat einen Durchmesser von 40 Zentimetern und kostet 40 Zeds. Bei welcher Pizza bekommt man mehr für sein Geld?"
(vgl.  )

An dieser Aufgabe lässt sich viel kritisieren (z.B. die blödsinnen "Zeds"), und zwar insbesondere (vgl. ebenfalls ) ihre Schizophrenie, dass also

• einerseits mit

30 Zentimeter zu 30 Zeds/40 Zentimeter zu 40 Zeds

suggestiv Linearität nahegelegt wird,

• andererseits diese geradezu provozierte Vermutung der Linearität mit der dann folgenden Frage "Bei welcher Pizza bekommt man mehr für sein Geld?" aber - ebenfalls wieder arg suggestiv und gleichzeitig beschämend - prompt zunichte gemacht wird.

Es wäre zu fragen, ob man nicht ein reales Beispiel nehmen sollte, bei dem die vermeintliche Linearität nicht so suggestiv ist. Die "Aufgabenstellung" könnte also probeweise einfach in folgendem Bild

(ohne jede weitere Erklärung)

bestehen:

Man könnte auch fragen, wie denn ein Pizza-Bäcker überhaupt seine verschiedenen Preise für kleine und große Pizzas festlegt. D.h. beispielsweise auch:

• Soll es bei der größeren Pizza einen (im Vergleich mit dem "eigentlichen", also erstmal zu berechnenden Preis) Mengenrabatt geben?

• Geht ein realer Pizzabäcker

(der "umme Ecke", den man wirklich mal fragt)

überhaupt mit mathematischen Fragen an dieses Problem - oder löst er es (ohne Kenntnis des nötigen Pi) "Pi mal Daumen"? Und löst er es damit sinnvoll, also

• ohne Verluste für sich selbst

(so dass er irgendwann vielleicht bemerkt, dass die Kunden nur noch die große Pizza kaufen und er daran pleite geht)

• oder überhöhte Preise für die Kunden

(die dann beispielsweise irgendwann bemerken, dass es für sie günstiger ist, zwei kleine als eine große Pizza zu kaufen)?

Man vergleich nur mal die Preisverhältnisse im oben gezeigten echten Pizzaprospekt:

• bei der Pizza Margherita: ^{4,00 €} / _{2,50 €} = 1,6 ,

• bei der Pizza Catanzaro:  ^{4,50 €} / 3,00 € = 1,5 ,

• und                               ²⁸     /  ₂₀      = 1,4

(Nebenbei: bei diesem Pizza-Bäcker ist wegen des "schiefen" Wertes 28 das Verhältnis mit ²⁸/₂₀ nunmal nicht so einfach wie in der ursprünglichen PISA-Aufgabe [⁴⁰/₃₀], wird also nicht so suggestiv Linearität nahegelegt, damit aber auch das "Problem" nicht so leicht deutlich.)

Ich hingegen habe die Aufgabe im Unterricht folgendermaßen gestellt:

"Eine 30-cm-Pizza kostet 3 €, eine 40-cm-Pizza kostet ..."

(Nebenbei: Feinheiten wie "zwei runde Pizzas in derselben Dicke", aber auch die Erwähnung, dass mit 30 bzw. 40 cm der Durchmesser gemeint ist, habe ich bewusst weggelassen, denn die SchülerInnen [und zwar insbesondere die notorisch antimathematischen Beckmesser] bringen automatisch Sonderfälle ein, merken aber auch schnell, dass sie im Bezug auf das Grundproblem nur ablenkend sind.)

Natürlich wird auch da mit der naheliegenden vermeintlichen Linearität gespielt, was zur Folge haben kann, dass prompt die Antwort

"Eine 30-cm-Pizza kostet 3 €, eine 40-cm-Pizza kostet 4 €"

kommt und - zumindest ohne immer schon suggestive Nachfrage des Lehrers - keinerlei weiterer Untersuchungsbedarf

(Korrektur des eben nur mathematischen Fehlers)

besteht.

3. Beispiel und fast schon eine Fermi-Aufgabe:

Wieviel Holz braucht Langnese jährlich für die Stiele seiner Magnum-Eise?
(Preisfrage: was ist der Plural von Eis?
Nebenbei: herzlichen Dank den beiden dreijährigen Dreikäsehochs [korrekte Pluralbildung?] Elias & Theo, die das Eis aufessen "mussten", damit ich an den Stiel kam.)

Es geht nur um die grobe Abschätzung: ist das ein mittelprächtiger Baum oder der halbe Regenwald

(inkl. der sich somit andeutenden ökologischen Probleme)?

Nebenbei: die Antwort weiß ich bislang auch nicht

_{(und dennoch sollte einE LehrerIn in der Regel Lösungsansätze vorweg überprüft haben, um einzuschätzen, ob eine Lösung für die SchülerInnen überhaupt erreichbar ist, und um bei Stockungen Hilfen geben zu können).}

_{Lösungsansätze wären aber:}

1. _{Umfrage in der Klasse über den jährlichen Magnum-Konsum,}

2. _{grobe Hochrechnung auf die bundesrepublikanische Bevölkerung,}

3. _{evtl. Internetrecherche oder Nachfrage bei Langnese
   (Nachteil: könnte Langnese nicht gleich auch den Holzverbrauch nennen?)}

4. _{Berechnung, wie viele Stiele in einen Kubikdezimeter passen,}

5. _{Berechnung der insgesamt benötigten Holzmenge,}

6. _{Feststellung der Holzart,}

7. _{Recherche, wie groß ein typischer Baum der entsprechenden Art ist,}

8. _{Idealisierung des Baums: sein Stamm ist nicht rund, sondern quadratisch und verjüngt sich zudem nicht nach oben hin, sondern ist gleichbleibend dick,}

9. _{Berechnung der Anzahl der Stiele, die aus einem Baum gewonnen werden können,}

10. _{Berechnung der Anzahl der insgesamt benötigten Bäume.}

_{Last but not least: warum haben die Magnum-Stiele die Löffelbisquit-Form? Aus rein ästhetischen Gründen - oder damit das Eis nicht so leicht vom Stiel runterfällt?}

Und wie ordnet man die Stiele dann eigentlich platz-, d.h. holzsparend im Baum an bzw. schneidet man sie aus ihm heraus?:

(... womit sich ein ähnliches Problem wie bei Keplers Kugelpackungen ergibt)

PS:

für mich als bekennenden Puristen, der sowohl gerne Schokolade als auch gerne Nösse isst, aber nie Nussschokolade (da bin ich "Trennkostler"; vgl. "erst die Pommes, dann das Schnitzel"), sowohl gerne Milch als auch gerne Kaffee trinkt, aber nie Milchkaffee, Eis bzw. Cola o.ä. in Bier bzw. Whiskey für ein Verbrechen hält, sind natürlich Magnum-Imitate anderer Hersteller genauso wenig echte Magnums wie die Variationen ("Double Caramel", "Weiß", "Mandel", "Caramel & Nuts", "Yogurt fresh", "Double Chocolate", "Haselnuss"), die Langnese selbst rausbringt, sondern nur das innen und außen ästhetisch schlichte "Magnum classic" ist ein echtes Magnum und bedarf deshalb nicht mal des Zusatzes "classic".   "[Frage:] Hallo, hat jemand einen Tipp wie man Silikonfugen gut hinkriegt?               Wir haben Probleme damit und es sieht nicht schön aus. [...] [Antwort:] am besten gehts mit einem Eisstiel Magnum für Bodenanschlussfugen normale für Wandfugen. Das Silicon einspritzen und mit einem Pinsel oder einer Sprühflasche ordendlich Prilwasser auftragen. Dann den mit Prilwasser befeuchteten Eisstiel überziehen, die Siliconfuge wieder neu befeuchten und mit dem Finger leicht überstreichen" (zitiert nach  )

Ich glaube tatsächlich, dass man den Umgang mit solchen sehr offenen "Aufgaben" regelmäßig üben muss und sollte. Und entscheidend dabei ist, dass SchülerInnen (nicht mitgegebene) sinnvolle Frage-/Aufgabenstellungen selbst zu entwickeln lernen.